2.2.3直线的一般式方程-高二上学期人教A版（2019）选择性必修第一册第二章直线和圆的方程

2.2.3 直线的一般式方程 第二章 直线和圆的方程 名称 已知条件 方程 适用范围 斜率k与点(x0，y0) 斜率k与纵截距b 两点(x1,y1)，(x2,y2) 横(纵)截距a与b y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 不含垂直于x轴的直线 不含垂直于坐标轴的直线 点斜式 斜截式 两点式 截距式 复习引入 当直线与y轴垂直时 当直线与x轴垂直时 上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？ ? x+ ? y+ ? =0 上述四式都可以写成直线方程的一般形式： Ax+By+C=0, A、B不同时为0. 思考： 1.在直角坐标系中，任何一条直线的方程都是关于x,y的一次方程吗？ 结论：任何一条直线的方程都是关于x,y的二元一次方程。 ⑴直线和y轴相交时：此时倾斜斜角 ，直线的斜率 k存在，直线可表示成y =k x+b（是否是二元一次方程？） ⑵直线和y轴平行（包括重合）时：此时倾斜角 , 直线的斜率k不存在，不能用y =kx+b表示，而只能表 示成x=a（是否是二元一次方程？） (其中A、B不同时为0) 关于x,y的二元一次方程 叫做直线的一般式方程,简称一般式. ①当B≠0时, ②当B=0时, 方程可化为 这是直线的斜截式方程，它表示斜率是 在y轴上的截距是 的直线. 表示垂直于x轴的一条直线 方程可化为 2.方程Ax+By+C=0 1、直线的一般式方程 注意 :对于直线方程的一般式，规定： 1)x的系数为正; 2)x,y的系数及常数项一般不出现分数; 3)按含x项，含y项、常数项顺序排列. 探究：在Ax+ By+C=0 方程中，A,B,C为何值时，方程表示的直线： ①平行于x轴？ ②平行于y轴？ ③与x轴重合？ ④与y轴重合？ A=0 ,B≠0, C≠0 By+C=0 A≠0 ,B=0, C≠0 Ax+C=0 形如：y=a(a≠0) 形如：x=a(x≠0) y=0 x=0 A=0 ,B≠0, C=0 By=0 A≠0 ,B=0, C=0 Ax=0 注：一般式方程Ax+ By+C=0（A, B不同时为0）可以表示平面直角坐标系中所有直线！ 一般式 两点或一个点和斜率或横纵截距 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的所有直线都适用 一般式方程 3.在x轴,y轴上的截距分别是 . 2.经过点P(3,-2),Q(5,-4); 例1.根据下列条件,写出直线的方程,并把它化成一般式： 解：将直线的一般式方程化为斜截式 , 它的斜率为 ，它在y轴上的截距是3. 例2.把直线 化成斜截式，求出直线的斜率以及它在y轴上的截距。 2、求直线的一般式方程 的斜率和截距的方法： (2)直线在y轴上的截距b,令x=0，解出 值， 则 (3) 直线与x轴的截距a,令y=0，解出 值， 则 (1)直线的斜率 练.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点； (2)斜率是，在轴上的截距为； (3)经过点两，点； (4)在轴，轴上的截距分别为，； (5)经过点，且平行于轴. 解：(1)由点斜式，得直线方程为， 即. (2)由斜截式，得直线方程为， 即. 例3.(1)已知直线与直线平行，求的值； 解：(1)由，知： ①当时，显然与不平行； ②当时，，需. 解得或， ∴的值为或. 例3.(2)当为何值时，直线与直线互相垂直？ 解：(2)由题意知，直线. ①若1，即时，直线与直线显然垂直. ②若1即时，直线与直线不垂直. ③若1且，则直线，的斜率都存在， ，.当时，即解得综上可知，当或时，直线. 例4.已知直线的方程为求满足下列条件的直线的方程. (1)过点，且与平行； (2)过点，且与垂直. 归纳总结： (1)直线：，直线：， ①若且(或). ②若. (2)与直线平行的直线方程可设为，与直线垂直的直线方程可设为. 例4.已知直线的方程为求满足下列条件的直线的方程. (1)过点，且与平行； (2)过点，且与垂直. 解：(1)由与平行，可设的方程为. 将点代入上式得. ∴所求直线的方程为. (2)由与垂直，可设的方程为. 将点代入上式得. ∴所求直线的方程为. [练] (1)若直线(m2-6)x+3y