2.2.1直线的点斜式方程-高二上学期人教A版（2019）选择性必修第一册第二章直线和圆的方程

2.2.1 直线的点斜式方程 第二章 直线和圆的方程 2.1 直线的倾斜角与斜率 或斜率都不存在 或一条斜率不存在，另一条斜率为0 复习回顾： 一、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角； （2）直线的斜率； （3）两点间斜率公式. 二、直线的关系 我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.这样，在平面直角坐标系中，给定一个点和斜率(或倾斜角)，就能唯一确定一条直线.也就是说，这条直线上任意一点的坐标与点的坐标和斜率之间的关系是完全确定的.那么，这一关系如何表示呢？下面我们就来研究这个问题. 问题引入： 1、直线 l 过点P(2,3)，且斜率为3，点Q(x,y)是 l 上不同于P的一点，则x、y满足怎样的关系式？ 2、如图，直线经过点，且斜率为.设是直线上不同于点的任意一点，因为直线的斜率为 由斜率公式得，即. 由上述推导过程可知： (1)直线上每一个点的坐标都满足关系式；反过来，我们还可以验证 (2)坐标满足关系式的每一个点都在直线上. 事实上，若点的坐标满足关系式 ，则. 当时，，这时点与重合，显然有点在直线上； 当时，有，这表明过点，的直线的斜率为.因为直线，的斜率都为，且都过点，所以它们重合.所以，点在直线上. 所以：坐标满足关系式的点一定在直线上；直线上任意一点的坐标一定满足关系式.我们把方程 称为过点，斜率为的直线的方程. 方程由直线上一个定点及该直线的斜率确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式. 1、直线的点斜式方程 斜率 点的坐标 直线的点斜式方程 x轴所在直线的方程是 经过点P0(x0，y0) ，且倾斜角为0o的直线方程是 y=y0 x=x0 y=0 x=0 直线的点斜式方程 斜率存在 y轴所在直线的方程是 O x y x0 l O x y y0 l 注： 2. 点斜式方程的使用 (1)点斜式方程就是一个公式：y-y0=k(x-x0)，既然是公式，满足条件就用。 (2)公式使用条件：知道一个点和直线的斜率（包括倾斜角）。 (3)斜率在函数中的意义：一次函数中，一次项的系数为直线的斜率。 例1.直线经过点，且倾斜角求直线的点斜式方程，并画出直线. 解：直线经过点，斜率代入点斜式方程得: 画图时，只需再找出直线上的另一点，例如，取 则，得点的坐标为，过，两点的直线即为所求，如图所示. 已知直线l的斜率是k，与y轴的交点是P(0，b)，求直线方程。 解：代入点斜式方程，得l的直线方程： 即y=kx+b。 (2) 直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距。 方程(2)是由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定， y-b=k(x-0), O x y (0,b) 所以方程(2)叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。 注意：斜截式方程的形式特点并对比一次函数形式 3、直线的斜截式方程 y=kx+b。 其中，和均有明显的几何意义：是直线的斜率，是直线在轴上的截距. （1）. 直线的斜截式方程中“截”的理解 截距并非距离，而是直线与坐标轴的交点的横（x轴上的截距）纵（y轴上的截距）坐标的值，可正可负也可以为零。 （2）. 求截距的方法： x轴上的截距：令y=0，x的值； y轴上的截距：令x=0，y的值. 如.斜率是5，在y轴上的截距是4的直线方程。 解：由已知得k =5, b= 4，代入斜截式方程 y= 5x + 4. 例2.已知直线试讨论： (1)的条件是什么？(2)的条件是什么？ 解：(1)若，则，此时，与轴的交点不同，即；反之，若，且，则. (2)若，则；反之，若，则. 由例2我们得到，对于直线，， 思考2：与直线l1:y=kx+b1平行的直线有几条？它们的方程有什么特点？ 与直线l1:y=kx+b1平行的所有直线的方程为：y=kx+b 例3.写出下列直线的点斜式方程. (1)经过点，且与直线平行； (2)经过点，且与轴平行； (3)经过点，且与轴垂直. 解：(1)由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为 (2)由题意知，直线的斜率，所以直线的点斜式方程为. (3)由题意知，直线的斜率不存在，所以直线的方程为该直线没有点斜式方程. （2）斜率是 ，在 轴上的截距是 ； 例4、写出下列直线的斜截式方程： （1）斜率是 ，在 轴上的截距是 ； 例5、判断下列各对直线是否平行或垂直： 练1：倾斜角为，与轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是_____. 解：∵直线的倾斜角为， ∴其斜率， ∵直线与轴的交点到原点的距离是3， ∴直线在轴上的截距是3或-3， ∴所求直线方程