2.1.1倾斜角与斜率——高二上学期同步课件

2.1.1 倾斜角与斜率 第二章 直线和圆的方程 2.1 直线的倾斜角与斜率 我们知道，点是构成直线的基本元素.在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，那么，如何用坐标表示直线呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来. 思考1：确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线，如何利用坐标系确定它的位置？ 复习引入 A B O P x y l1 l2 l3 在平面直角坐标系中，我们规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向． 1.方向 追问：这些直线的区别是它们的方向不同．如何表示这些直线的方向？ 2.倾斜角 当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线的 倾斜角。 规定:1.当直线与x轴平行或重合时， 2.当直线与x轴垂直时， 注：(1)直线向上方向； (2)x轴的正方向。 这样，在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向. 下面我们进一步研究刻画直线倾斜程度的方法. 设，(其中)是直线上的两点.由两点确定一条直线可知，直线由点，唯一确定.所以，可以推断，直线的倾斜角一定与 两点的坐标有内在联系. 对于问题(1)，如图，向量，且直线的倾斜角为.由正切函数的定义，有 对于问题(2)，如图，向量 .平移向量到，则点的坐标为 ，且直线的倾斜角也是.由正切函数的定义，有 一般地，如图，当向量的方向向上时，且直线的倾斜角也是，由正切函数的定义，有 思考：当直线与轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？ 综上可知，直线的倾斜角与直线上的两点，的坐标有如下关系：.① 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率常用小写字母表示，即.② 3.倾斜角的正切值 4. 直线的斜率 O k α 倾斜角是的直线没有斜率，倾斜角不是的直线都有斜率.例如，倾斜角时，这条直线的斜率；倾斜角时，这条直线的斜率. 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k α∈[0°,90°)时,斜率越大,倾斜角越大; α∈(90°,180°)时,斜率越大,倾斜角越大. 直线的倾斜角越大,斜率越大? 4、直线的斜率 如果直线经过两点，那么由①②可得如下的斜率公式：. 我们发现，在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于轴的倾斜程度. 思考：(1)已知直线上的两点，，运用上述公式计算直线的斜率时，与，两点的顺序有关吗？ (2)当直线平行于x轴，或与x轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？ 1.当直线平行于x轴，或与x轴重合时： 成立，因为分子为0，分母 不为0，所以k =0 . 2.当直线平行于y轴，或与y轴重合时 斜率不存在，因为分母为0. 例2.设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转，得到直线，则直线的倾斜角为（ ）. A. B. C. D.或 答案：D. 解：由倾斜角的取值范围知，只有当 ，即时，的倾斜角才是.而，所以当时，的倾斜角为(如图). 变1.若直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角的取值范围是( ). A. B. C. D. 答案：C. 解：直线倾斜角的取值范围是，又直线经过第二、四象限，所以直线的倾斜角的取值范围是. 例3.[多选]已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标可能为（ ）. A. B. C. D. 答案：CD. 解：设或， ∵或， ∴或，∴，， ∴点的坐标