第十二章 全等三角形常考题型总结（二）——角平分线有关辅助线 2023—2024学年人教版数学八年级上册

第十二章：全等三角形常考题型总结（二） 角平分线有关辅助线 题型一：向两边作垂线段 1. 如图，已知，是的平分线，三角尺的直角顶点在射线上滑动，两直角边分别与，交于点，，求证：． 2. 如图，点为的角平分线上一点，过任作一直线分别与的两边交于、，为的中点，过作的垂线交于点，，则(    ) A.   B.   C.   D. 不确定 题型二：向中间作垂线段（三线合一） 1. 如图，四边形中，，点为的中点，． 求证：平分； 求证：平分，． 2. 实验中学学生在学习等腰三角形性质“三线合一”时 探究发现如图，在中，若平分，时，可以得出，为中点，请用所学知识证明此结论． 学以致用如果和等腰有一个公共的顶点，如图，若顶点与顶点也重合，且，试探究线段和的数量关系，并证明． 拓展应用如图，若顶点与顶点不重合，但是仍然成立，学以致用中的结论还成立吗？证明你的结论． 题型三：角平分线+平行线，得等腰三角形 1. 如图，中，、的平分线交于点，过点作平行线交、于、． 请写出图中线段，，之间的数量关系？并说明理由． 如图，若的平分线与的外角平分线交于，过点作平行线交于，交于那么，，之间存在什么数量关系？并证明这种关系． 若将图中两个内角的角平分线改为两个都是外角如图，、的角平分线，其它条件不变，那么，，之间存在什么数量关系？请直接写出你的猜想不需证明． 题型四：截长补短 1. 如图，在中，，，分别平分，，，相交于点． 求的度数． 求证：． 2. 在内有一点，过点分别作，，垂足分别为，且，点，分别在边和上． 如图，若，请说明； 如图，若，，猜想，，具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． 3. 如图所示，，，平分，平分，点在上，且若，，则四边形的面积为______________． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章：全等三角形常考题型总结（二） 角平分线有关辅助线 题型一：向两边作垂线段 1. 如图，已知，是的平分线，三角尺的直角顶点在射线上滑动，两直角边分别与，交于点，，求证：． 【答案】证明：过点作于点，于点． ． 是的平分线．， ，， ． ，． 在和中，  ≌．  2. 如图，点为的角平分线上一点，过任作一直线分别与的两边交于、，为的中点，过作的垂线交于点，，则(    ) A.   B.   C.   D. 不确定 【答案】A  【解析】解：如图：过作于，于， 则， ， ， ，，平分， ， 为中点，， ， 在和中， ， ≌， ， ． 故选A． 题型二：向中间作垂线段（三线合一） 1. 如图，四边形中，，点为的中点，． 求证：平分； 求证：平分，． 【答案】证明：延长交的延长线于． ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， ，， 平分． ， ， ， ， 平分， ，， ．  2. 实验中学学生在学习等腰三角形性质“三线合一”时 探究发现如图，在中，若平分，时，可以得出，为中点，请用所学知识证明此结论． 学以致用如果和等腰有一个公共的顶点，如图，若顶点与顶点也重合，且，试探究线段和的数量关系，并证明． 拓展应用如图，若顶点与顶点不重合，但是仍然成立，学以致用中的结论还成立吗？证明你的结论． 【答案】见解析；结论：；结论不变：．  【解析】 解：如图中， ， ， 平分， ， ， ≌， ，． 结论：． 理由：如图中，延长交的延长线于． 平分，， 由中结论可知：，， ， ，， ， ， ≌， ， ，即． 如图中，结论不变：． 理由：作 交的延长线于，交于． ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 由可知：． 题型三：角平分线+平行线，得等腰三角形 1. 如图，中，、的平分线交于点，过点作平行线交、于、． 请写出图中线段，，之间的数量关系？并说明理由． 如图，若的平分线与的外角平分线交于，过点作平行线交于，交于那么，，之间存在什么数量关系？并证明这种关系． 若将图中两个内角的角平分线改为两个都是外角如图，、的角平分线，其它条件不变，那么，，之间存在什么数量关系？请直接写出你的猜想不需证明． 【答案】解：，理由如下： 和的平分线相交于点， ，， ， ，， ，， ，， ， 即； ，理由如下： 和的平分线相交于点， ，， ， ，， ，， ，， ， ； ，理由如下： 、的角平分线交于点， ，， ， ，， ，， ，， ， 即．  题型四：截长补短 1. 如图，在中，，，分别平分，，，相交于点． 求的度数． 求证：． 【答案】解：，． ，分别平分，， ， ． 证明：如解图，在上截取，连结． ，分别平分，， ，． 在和中， ，． ，， ． 在和中， ，， ． 2. 在内有一点，过点分别作，，垂足分别为，且，点，分别在边和上． 如图，若，请说明； 如图，若，，猜想，，具有的数量关系，并说明你的结论成立的