专题12.4综合与实践一次函数模型的应用 五大题型 汇编 讲义2023-2024学年沪科版八年级数学上册

 专题12.4一次函数模型的应用

【五大题型】汇编

（学生版）

 

题型归类                               

 

【题型1行程问题（同向、相向/同时）】---------------------------------------------------------------------1

【题型2行程问题（同向、相向/不同时）】-----------------------------------------------------------------1

【题型3 销售利润、方案决策型问题】-----------------------------------------------------------------------1

【题型4 动点在几何图中的应用问题】-----------------------------------------------------------------------1

【题型5 图像信息应用多结论问题】--------------------------------------------------------------------------1

 

课时通关                               

 

【指点迷津1  一次函数的概念】

一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数，当时，即，这时即是前一节所学过的正比例函数．

⑴一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．

⑵当，时，仍是一次函数．

⑶当，时，它不是一次函数．

⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．

 

【题型1 行程问题（同向、相向/同时）】

【例1】已知， 两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，出发2分钟后，乙减慢了速度，最终比甲晚到，两人所走路程（米）与行驶时间（分）之间的关系如图所示，请回答下列问题：

（1）求乙的路程与行驶时间之间的函数关系式？

（2）求乙行驶多长时间时，乙在甲前方50米?

 

 

【变式1-1】甲，乙两辆汽车分别从两地同时出发，沿同一条公路相向而行．已知甲车匀速行驶；乙车出发2h后休息，与甲车相遇后继续行驶，结果同时分别到达两地.设甲，乙两车与B地的距离分别为，，甲车行驶的时间为x（h），，与x之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题：

（1）当时，求乙车的速度；

（2）求乙车与甲车相遇后与x的函数关系式；

（3）当两车相距20km时，直接写出x的值.

 

 

 

【变式1-2】学校与图书馆在同一条笔直道路上，小明从学校去图书馆，小红从图书馆回学校，两人都匀速步行且同时出发，小红先到达目的地．两人之间的距离与时间之间的函数关系如图所示，根据图象信息解决下列问题：

（1）直接写出两人相遇时的值；

（2）求出线段CD所表示的函数表达式．

（3）当t为何值时，两人相距1500米？

 

 

【变式1-3】两个码头之间航程为千米，甲、乙两轮船同时出发，甲轮船从码头顺流匀速航行到B码头后，立即逆流匀速航行返回到码头，乙轮船从码头逆流匀速航行到码头后停止，两轮船在静水中速度均为10，水流速度不变，两轮船距A码头的航程与各自的航行时间之间的函数图象如图所示.

（顺流速度＝静水速度＋水流速度：逆流速度＝静水速度—水流速度）

（1）水流速度为_______千米时；a值为_______；

（2）求甲轮船从B码头向4码头返回过程中y与x之间的函数关系式；

（3）当乙轮船到达A码头时，求甲轮船距A码头的航程．

 

【变式1-4】在一条笔直的公路上有两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回地．乙从B地步行匀速前往地（甲、乙二人到达地后均停止运动）甲、乙二人之间的距离与出发时间之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

（1）A、B两地之间的距离是_______米，乙步行速度是______米／分；

（2）图中a＝_______，b＝______；

（3）求线段MN的函数解析式；

（4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米？（直接写出答案即可），

 

【变式1-5】快车与慢车分别从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留1小时，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1小时到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程与所用的时间的关系如图所示.

（1）图中表示的自变量是______,因变量是_______.

（2）甲乙两地之间的路程_______；快车的速度为______；慢车的速度为_______.

（3）出发_______小时，快慢两车距各自出发地的路程相等.

（4）快慢两车出发_______小时相距.

 

 

【指点迷津2  一次函数的图像】

（1）一次函数（，，为常数）的图象是一条直线．

（2）由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．

 ①如果这个函数是正比例函数，通常取 ，两点；

 ②如果这个函数是一般的一次函数（），通常取，，即直线与两坐标轴的交点．

（3）由函数图象的意义知，满足函数关系式的点在其对应的图象上，这个图象就是一条直线，反之，直线上的点的坐标满足，也就是说，直线与是一一对应的，所以通常把一次函数的图象叫做直线：，有时直接称为直线．

 

 

【题型2 行程问题（同向、相向/不同时）】

【例2】甲，乙两地相距480千米，货车和轿车先后从甲地出发驶向乙地，其中货车先出发0.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离（千米）与货车行驶时间x（小时）之间的图像关系，折线BCD表示轿车离甲地的距离千米）与货车行驶时间x（小时）之间的图像关系，根据图像解答下列问题：