3.3幂函数学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

章节

3.3

课题

幂函数

教

学

目

标

通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，

理解它们的变化规律，了解幂函数的性质．

教学重点

幂函数的概念、图像和性质

教学难点

类比常见幂函数的图像和性质得到一般幂函数的图像和性质，并会应用。

【新知探究】

一、幂函数的定义

一般地，函数________________叫做幂函数，其中是自变量，为常数．

幂函数解析式的特征：(1)指数为常数．(2)底数是自变量，自变量的系数为1.(3)幂xα的系数为1.

二、常见五个幂函数

三、幂函数的图象与性质

(1)幂函数y＝xα在第一象限内的图象特征．

①当α＞1时，图象过点(1,1)，下凸递增，如y＝x3.

②当0＜α＜1时，图象过点(1,1)，上凸递增，如y＝.

③当α＜0时，图象过点(1,1)，下凸递减，且向两坐标轴无限地逼近，如y＝x－1.

(2)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在直线x＝1的右侧，指数越大图像越高；

(3)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．

【典型例题】

例1.（1）已知幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)在(0，＋∞)上为增函数，求m的值．

（2）已知点(，2)和点分别在幂函数f(x)和幂函数g(x)的图象上，解不等式f(x)＜g(x)．

例2.比较下列各组数的大小

   （1）   （2）    （3） 

例3.（1）求满足不等式的实数的范围。

（2）已知幂函数f(x)＝(m2＋m－1)xm在(0，＋∞)上是减函数，且f(2a－1)＞f(a)，求a的取值范围．