1.2.2空间中的平面与空间向量（原卷版+解析版）

1.2.2空间中的平面与空间向量（原卷版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、解答题 1．已知正方体中，M，N分别是与的中点．求证：面． 2．如图所示，已知空间直角坐标系中的三棱锥中，，其中，求平面的一个法向量． 3．如图所示的三棱锥中，，且为的边上的高，求证：．    4．如图所示，已知是一个正方体，求证：．    5．设分别是空间中两个不重合的平面的法向量，分别根据下列条件判断平面的位置关系. （1）； （2）. 6．设分别是空间中平面的法向量，判断平面是否垂直. 7．如果平面与平面平行，是平面的一个法向量，那么是平面的一个法向量吗？ 8．用平面的法向量证明平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 9．已知，求平面的一个法向量的坐标. 10．已知四棱锥的底面是平行四边形，且底面，如果，求证四边形是矩形． 11．如图，已知平面，D为的中点，求证：. 试卷第4页，共6页 试卷第3页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2.2空间中的平面与空间向量（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、解答题 1．已知正方体中，M，N分别是与的中点．求证：面． 【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理作答. 【详解】在正方体中，以A为原点，的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，    令正方体的棱长为1，则， 线段的中点，线段的中点，则， 因为平面，则是平面的一个法向量，而且， 显然，因此，又平面， 所以面. 2．如图所示，已知空间直角坐标系中的三棱锥中，，其中，求平面的一个法向量． 【答案】. 【分析】根据给定的空间直角坐标系，求出平面的法向量作答. 【详解】依题意，，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，因此 所以平面的一个法向量为． 3．如图所示的三棱锥中，，且为的边上的高，求证：．    【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件，可得平面，再利用线面垂直的性质、判定推理作答. 【详解】在三棱锥中，，，平面，则有平面， 而平面，则，又，平面， 因此平面，又平面， 所以. 4．如图所示，已知是一个正方体，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理作答. 【详解】在正方体中，以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，    令正方体棱长为1，则， 于是， 有， 因此，所以. 5．设分别是空间中两个不重合的平面的法向量，分别根据下列条件判断平面的位置关系. （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先利用向量的线性关系判定的位置关系，进而判定平面的位置关系； （2）先利用向量的线性关系判定的位置关系，进而判定平面的位置关系； 【详解】（1）因为，所以，则； （2）因为，所以，则； 6．设分别是空间中平面的法向量，判断平面是否垂直. 【答案】两个平面是垂直关系 【分析】通过向量点积运算可得到两个法向量是垂直关系，进而得到两个面是垂直关系. 【详解】分别是空间中平面的法向量， ，两个面的法向量是垂直关系， 故两个平面是垂直关系. 7．如果平面与平面平行，是平面的一个法向量，那么是平面的一个法向量吗？ 【答案】是平面的一个法向量.理由见解析. 【分析】由法向量的定义即可得到答案. 【详解】由题意，是平面的一个法向量，所以，而，所以，于是是平面的一个法向量. 8．用平面的法向量证明平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 【答案】答案见解析 【分析】利用线面垂直的判定及其性质，面面平行的判定定理即可得出． 【详解】已知直线，，，． 证明：平面平面， 证明：设为平面的法向量， 画出示意图： ，． ，， 又，，， ， ． 9．已知，求平面的一个法向量的坐标. 【答案】 【分析】设平面的法向量为，根据条件有，则有，列式子解方程组即可. 【详解】，设平面的法向量为 根据条件有 则有 化简为： 故法向量为： 10．已知四棱锥的底面是平行四边形，且底面，如果，求证四边形是矩形． 【答案】证明见解析. 【分析】根据空间向量的数量积可知，，再由，证出即可. 【详解】 证明：因为平面，所以，所以， 又，所以． 由，得， 所以，又四边形是平行四边形，所以四边形是矩形． 【点睛】本题考查了空间向量数量积的应用，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 1