1.2.1空间中的点、直线与空间向量（原卷版+解析版）

1.2.1空间中的点、直线与空间向量（原卷版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、解答题 1．已知正方体中，E为的中点，求证：直线与直线不平行. 2．已知a，b是平面内的两条相交直线，直线n满足，.求证：. 3．在三棱锥中，，，两两互相垂直，E为的中点，且，求直线AE与BC所成角的大小（用两种方法解答）. 4．在正方体中，判断满足下列条件的点M，N是否存在：. 5．设是空间直线l上的点，求直线l的一个方向向量. 6．设分别是空间中两条不重合的直线的方向向量，分别根据下列条件判断直线的位置关系. (1)； (2). 7．已知点，且O为坐标原点，求点C的坐标. 8．如果直线与直线平行，是直线的一个方向向量，那么也是直线的一个方向向量吗？ 9．己知非零向量，分别有，是否一定存在非零实数，使得？为什么？ 10．已知点，P为线段上一点，且，求点P的坐标. 11．如图，在长方体中： (1)哪些棱所在直线与直线互为异面直线且互相垂直？ (2)若，分别求向量与，，的夹角. 12．如图，已知长方体中，，判断满足下列条件的点M，N是否存在：. 13．已知空间四边形中，，求证：. 评卷人 得分 二、填空题 14．设分别是空间两直线的方向向量，则直线，所成角的大小为 . 试卷第6页，共7页 试卷第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2.1空间中的点、直线与空间向量（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、解答题 1．已知正方体中，E为的中点，求证：直线与直线不平行. 【答案】证明见解析 【分析】以D为原点，的方向分别为x轴､y轴､z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，证明与不平行即可. 【详解】证明：以D为原点，的方向分别为x轴､y轴､z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系.    则， 所以. 又因为，所以与不平行. 因为为直线的一个方向向量，为直线的一个方向向量， 当时，必有. 因此由上可知直线与直线不平行. 2．已知a，b是平面内的两条相交直线，直线n满足，.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】设m是内的任意一条直线，且分别为直线n，a，b，m的方向向量，易知不共线，再由共面，得到存在唯一的实数对，使，然后再论证即可. 【详解】证明：设m是内的任意一条直线，且分别为直线n，a，b，m的方向向量， 因为直线n满足，， 所以， 因为a与b相交，所以不共线， 又因为共面， 所以由共面向量定理可知，存在唯一的实数对，使， 因此， 从而可知， 所以， 因为直线n垂直于平面内的任意一条直线， 所以. 3．在三棱锥中，，，两两互相垂直，E为的中点，且，求直线AE与BC所成角的大小（用两种方法解答）. 【答案】 【分析】方法一：利用异面直线夹角定义知为直线AE与BC所成角，进而求解； 方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量法求异面直线夹角. 【详解】方法一：取的中点，连接，， 由分别为的中点，可知是的中位线， ，所以或其补角为直线AE与BC所成角， 又易知，而两两互相垂直， 所以 所以是等边三角形，从而 所以直线AE与BC所成角的大小为 方法二：由已知以O为原点，以的分向为轴建立空间直角坐标系， 由，知，，， 所以， 所以 所以，即直线AE与BC所成角的大小为 4．在正方体中，判断满足下列条件的点M，N是否存在：. 【答案】存在 【分析】以D为原点，的方向分别为x轴､y轴､z轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】解：以D为原点，的方向分别为x轴､y轴､z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系.    则 所以. 假设满足条件的M，N存在，而且，， 则. 因为，所以， 从而， 解得，. 因此，满足条件的M，N是存在的. 5．设是空间直线l上的点，求直线l的一个方向向量. 【答案】 【分析】根据直线方向向量的定义可求解. 【详解】解：根据题意得： 点和点是空间直线l上的点 那么直线l的方向向量为 故直线l的一个方向向量 6．设分别是空间中两条不重合的直线的方向向量，分别根据下列条件判断直线的位置关系. (1)； (2). 【答案】(1)∥ (2)∥ 【分析】根据两向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】（1）解： 又两直线不重合 ∥ （2） 又两直线不重合 ∥ 7．已知点，且O为坐标原点，求点C的坐标. 【答案】. 【分析】由空间向量共线的坐标运算即可求得答案. 【详解】设，则，所以，即点