3.1 平方根（讲+练，十一大题型）-【划重点】2023-2024学年七年级数学上册同步讲与练（浙教版）

3.1 平方根 1.了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根和算术平方根. 2.理解平方根的相关事实. 3.了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求平方根. 知识点一 平方根的概念及性质 1.平方根的概念 一般地，如果一个数的平方等于, 那么这个数叫的平方根，也叫做的二次方根. 例如,因为,所以是4的平方根;因为,所以-2也是4的平方根除了2和-2的平方等于4以外，其他任何数的平方都不等于4,所以4的平方根有两个,它们是2和-2. 2.平方根的表示 (1)一个正数有两个平方根，正的平方根用符号表示，读做“根号”，负的平方用符号-表示,读做“负根号” (2)正数的两个平方根记做±，读做“正、负根号”,为被开方数 注意: （1） 被开方数可以是一个数或一个字母，也可以是一个式子，在讨论非负性的时候是整体非负性而不是某一个个体非负性. （2） 求一个正数的平方根时,不要漏掉负的平方根 3平方根的性质 (1) 一个正数有正、负两个平方根,它们为相反数 (2)0的平方根是0 (2) 负数没有平方根 即学即练 （2022秋·浙江·七年级专题练习）求下列各数的平方根： （1）121；（2）0.01；（3）；（4）；（5）． 知识点二 开平方 求一个数的平方根的运算叫做开平方. 开平方是平方运算的逆运算，可以运用开平方运算求一个数的平方根 即学即练 将下列各数开平方: ⑴81； ⑵ ； ⑶ 1.69 知识点三 算术平方根的概念及性质 1.算术平方根的概念 一个数的算术平方根记做“”. 正数的正平方根称为算术平方根.由此可知，正数的算术平根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根. 由算术平方根的概念可知,求一个正数的算术平方根,就是求哪一个正数的平方等于这个数. 2. 算术平方根具有双重非负性 (1) 被开方数是非负数，即; (2) 算术平方根本身是非负数即. 算术平方根等于自身的数是0和1. 即学即练1 （2023·浙江·七年级假期作业）求下列各数的算术平方根． (1)225； (2)； (3)； (4)． 即学即练2 （2023春·山东聊城·八年级校考阶段练习）求下列各数的算术平方根． (1)64 (2) (3) (4) 知识点四 平方根与算术平方根的区别与联系 名称 平方根 算术平方根 区 别 表示方法 不同 正数的平方根表示为± 正数的算术平方根表示为 个数不同 一个正数的平方根有两个 一个正数的算术平方根有一个 结果不同 正数的两个平方根一正一负，且两数互为相反数 正数的算术平方根一定是正数 联 系 存在条件相同 平方根和算术平方根都只有非负数才有 具有包含关系 一个正数的平方根包含它的算术平方根 特殊值 0平方根、算术平方根均为0 相互关系 求算术平方根、平方根都可看做是平方的逆运算 注意：±,-,分别表示非负数的平方根、非负数的负的平方根和非负数的算术平方根,注意符号的不同，同时不可忽视被开方数的性质. 即学即练1 求下列各式的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型一 求一个数的算术平方根 例1 （2022秋·浙江·七年级专题练习）求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) 举一反三1 （2022秋·浙江·七年级期中）一个正数x的两个不同的平方根分别是和． (1)求a和x的值； (2)求的算术平方根． 举一反三2 若实数m，n满足等式． (1)求m，n的值； (2)求的平方根． 题型二 利用算术平方根的非负性解题 例2 （2023秋·浙江杭州·七年级校联考期末）已知一个正数m的平方根为和． (1)求m的值； (2)，的平方根是多少？ 举一反三1 （2022秋·浙江宁波·七年级校联考期中）已知实数a，b，c满足：，求的值． 举一反三2 （2022·浙江金华·七年级义乌市绣湖中学教育集团校考期中）如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为m． (1)实数m的值是_________； (2)求的值． (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 题型三 求算术平方根的整数部分和小数部分 例3 已知a为的整数部分，b－1是400的算术平方根，求的值． 举一反三1 设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x-1的算术平方根． 举一反三2 如图，每个小正方形的边长均为，阴影部分是一个正方形． （1）阴影部分的面积是__________，边长是____________； （2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数； （3）为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求的值．