专题13 函数的应用初步培优题型（重点知识梳理+8类题型+过关检测）-【挑战压轴题】2023-2024学年高一数学上学期培优题型归纳与满分秘籍（沪教版2020必修第一册）

专题13 函数的应用初步培优题型 在初中和上一章中，我们已学习了一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数及对数函数.这些函数的共同点是有两个变量，当其中的一个变量在某个范围内变化时，另一个变量就按照某种规则随之变化这种一个变量随着另一个变量的变化而变化的对应关系，在数学上就称为函数；在对二次函数、幂函数、指数函数与对数函数的研究中，已经可以看到不同的函数间有一些共同的性质；这里将概括有关函数的一些比较重要的性质，并用严格的数学语言加以描述； 函数是刻画世间万物之间联系的有力工具，借助于函数，可以更好地掌握事物的发展规律，从而深化人们的认识.函数概念的引入，使数学本身也经历了从常量到变量、从有限到无限的发展，从而逐步由初等数学走向高等数学；学好函数，对进一步学习以后的一些数学知识，如三角、微积分等，都是非常必要的； 《必修第一册》目录，第5章 函数的概念、性质及应用；5.3 函数的应用： 5.3.1 函数关系的建立；5.3.2 用函数观点求解方程与不等式；5.3.3 用二分法求函数的零点 1、函数的应用： （1）在建立函数关系时，需要注意其定义域. （2）零点是指函数图像与轴交点的横坐标，对于图像是连续曲线的函数，二分法是求近似零点的有效手段. （3）依靠函数，可以用动态的观点来考察方程的求解，以及不等式的求解. 2、相关知识点与方法梳理 函数关系的建立 在研究某些数学问题时，所研究的变量往往依赖于另一个变量，此时就需要建立这两个变量之间的函数关系； 函数的零点 对于函数，，如果存在实数，使得， 就把实数叫做该的零点； 函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图像与轴交点的横坐标； 即：函数有零点方程有实数根函数的图像与轴有交点； 零点存在定理 如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图像是一段连续曲线，并且f(a)·f(b)＜0，那么y＝f(x)在区间(a，b)上一定有零点； 二分法 二分法求函数零点近似值的步骤 （1）确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0. （2）求区间(a，b)的中点c. （3）计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； ③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. （4）判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤（2）～（4）； 题型1、函数关系的建立与注意事项 例1、（1）某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示： 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析，这个经营部为获得最大利润，定价应为________元． 【提示】； 【答案】； 【解析】 ； 【说明】注意题设中的“等量关系”与“实际问题对变量的限制”； （2）如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b(b＜a)，在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF，且AE＝AH＝CG＝CF＝x. 问：当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积． 【错解】设四边形EFGH的面积为S， 则S＝ab－2 ＝－2x2＋(a＋b)x＝－22＋. 根据二次函数的性质可知， 当x＝时，S有最大值; 【错因分析】； 【正解】 【说明】以上属于函数关系的建立问题；解决实际问题的步骤：1、对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用x，y分别表示；2、将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域；3、求解函数模型，并还原为实际问题的解。 题型2、利用函数关系的建立解决实际问题 例2、（1）某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去； ①若存款利率为x，x∈（0，0.048)，试写出存款数量g(x)及银行应支付给储户的利息h(x)与存款利率x之间的关系式； ②问存款利率为多少时，银行可获得最大收益？ （2）已知A，B两城市相距100 km，在两地之间距离A城市x km的D处修建一垃圾处理厂来解决A，B两城市的生活垃圾和工业垃圾；为保证不影响两城市的环境，垃圾处理厂与市区距离不得少于10 km；已知垃圾处理费用和距离的平方与垃圾量之积的和成正比，比例系数为0.25，若A城市每天产生的垃圾量为20 t，B城市每天产生的垃圾量为10 t； ①求x的取值范围； ②把每天的垃圾处理费用y表示成x的函数；