专题11 函数的概念与表示初步培优题型（重点知识梳理+8类题型+过关检测）-【挑战压轴题】2023-2024学年高一数学上学期培优题型归纳与满分秘籍（沪教版2020必修第一册）

专题11 函数的概念与表示初步培优题型 在初中和上一章中，我们已学习了一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数及对数函数.这些函数的共同点是有两个变量，当其中的一个变量在某个范围内变化时，另一个变量就按照某种规则随之变化这种一个变量随着另一个变量的变化而变化的对应关系，在数学上就称为函数；在对二次函数、幂函数、指数函数与对数函数的研究中，已经可以看到不同的函数间有一些共同的性质；这里将概括有关函数的一些比较重要的性质，并用严格的数学语言加以描述； 函数是刻画世间万物之间联系的有力工具，借助于函数，可以更好地掌握事物的发展规律，从而深化人们的认识.函数概念的引入，使数学本身也经历了从常量到变量、从有限到无限的发展，从而逐步由初等数学走向高等数学；学好函数，对进一步学习以后的一些数学知识，如三角、微积分等，都是非常必要的； 《必修第一册》目录，第5章 函数的概念、性质及应用；5.1 函数： 5.1.1 函数；5.1.2 函数的表示方法； 1、函数的概念： （1）设集合是一个非空的实数集，对内的任意给定的实数，按照某种法则,都有唯—确定的实数值与之对应，这种对应关系称为集合上的一个函数； （2）定义域和对应法则是函数的两个重要要素；函数的值域由其定义域和对应法则决定；两个函数的定义域和对应法则都相同（未必形式相同）时，两个函数是相同的. （3）函数的图像是表示函数性质的直观有力的工具. 2、相关知识点 函数的定义域 一般地，设D是非空的实数集，且对D中任意给定的实数x，按照某种确定法则，都有唯一确定的实数值y与之对应，则这种对应关系称为集合D上的一个函数；记作：y＝f(x)，x∈D. 其中x叫做自变量，其取值范围（数集D）称为 该函数的定义域； 函数的值域 对于自变量x0,由法则f所确定的x0所对应的值y0，称为函数在x0处的函数值，记作y0=f(x0)； 所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈D}称为这个函数的值域； 函数相同 如果两个函数的定义域和对应法则都完全一致，就称这两个函数是相同的.（同一个对应法则可能有不同的表述形式）； 函数的解析法 用一个数学表达式来表示两个变量之间的对应法则，这种表示函数的方法称为解析法； 函数的列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表达函数关系的方法 函数的图像法 对于函数；由（其中）的全体组成的集合叫做函数图像； 分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数； 3、对函数概念的理解 （1）对数集的要求：集合A，B为非空数集； （2）任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性； （3）对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样； （4）一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值； （5）函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可； 4、掌握函数定义域的求法 （1）若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零； （2）若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零； （3）若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合； （4）若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集； （5）若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义； 5、注意函数相等问题的3个易错点 （1）函数值域是由定义域和对应关系决定的．因此判断两个函数是否相等，看定义域和对应关系即可； （2）当两个函数的对应关系和值域分别相等时，这两个函数不一定相等； （3）若两个函数只是自变量用的字母不同，则这两个函数相等；例如，函数f(x)＝x2，x∈R与函数f(t)＝t2，t∈R是相等函数． 6、掌握求函数值域的常用方法的4种方法 （1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到； （2）配方法：此法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法； （3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域； （4）换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域； 7、掌握求函数解析式的方法的4种方法 （1）直接法(代入法)：已知f(x)的解析式，求f[g(x)]的解析式，直接将g(x)代入即可； （2）待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式； （3）换元法(有时可用“配凑