（模块化思维提升）专题10-体积的等积变形-小升初数学思维拓展几何图形专项训练（人教版）

专题10-体积的等积变形 小升初数学思维拓展几何图形专项训练 （知识梳理+典题精讲+专项训练） 1、体积的等积变形主要是用排水法，主要有以下几种情形： （1）当物体浸没于容器中时，要根据物体的体积等于容器内下降（升高）部分水的体积这一隐含条件来解题； （2）当物体仍有部分露于水面时，要根据水的体积未变，只是底面积变了，且体积=底面积×高这一隐含条件来解题； （3）要使得高相等，要记得把物质的体积看做一个整体，然后根据总体积未变，只是底面积变了，且体积=底面积×高这一隐含条件来解题。 【典例一】如图，甲（底面直径8厘米），乙（底面直径10厘米），两个圆柱形容量中的水深都是6厘米，分别往两个容器中放入一个体积相同的铁球（全部淹没，水没有溢出）后，甲乙两个容器水面高度是　　 A．甲高 B．乙高 C．一样高 D．无法判断 【分析】由题意可知，两个圆柱形容量中的水深都是6厘米，即原来水面高度相同，要比较后来甲乙两个容器中的水面高度，只要比较两个圆柱形容器中上升部分水的高度即可；由于是分别往两个容器中放入一个体积相同的铁球（全部淹没，水没有溢出），所以两个圆柱形容器中上升部分水的体积都等于体积相同的铁球的体积，即两个圆柱形容器中上升部分水的体积是相等的，又因为圆柱的体积底面积高，体积一定时则底面积与高成反比例，已知甲底面直径8厘米，乙底面直径10厘米，即甲的底面积小于乙的底面积，则甲升高的高度要大于乙升高的高度，所以后来甲容器中的水面高；据此解答． 【解答】解：由于原来水面高度相同，要比较后来甲乙两个容器中的水面高度，只要比较两个圆柱形容器中上升部分水的高度即可； 分别往两个容器中放入一个体积相同的铁球（全部淹没，水没有溢出），所以两个圆柱形容器中上升部分水的体积都等于体积相同的铁球的体积，即两个圆柱形容器中上升部分水的体积是相等的； 又因为圆柱的体积底面积高，体积一定时则底面积与高成反比例，已知甲底面直径8厘米，乙底面直径10厘米，即甲的底面积小于乙的底面积，则甲升高的高度要大于乙升高的高度； 所以后来甲容器中的水面高； 故选：． 【点评】此题考查了体积的等积变形，关键是明确两个圆柱形容器中上升部分水的体积都等于铁球的体积，即两个圆柱形容器中上升部分水的体积是相等的． 【典例二】把一个长方体木块，截成两段完全一样的正方体，这两个正方体的棱长之和比原长方体增加40厘米，每个正方体的体积是　 　立方厘米． 【分析】把一个长方体截成两段完全一样的正方体，切一次增加2个面，增加了8条棱，因为分成后的两个正方体的棱长之和比原长方体增加40厘米，即增加的8条棱的长度和是40厘米，进而用得出一条棱的长度，然后根据正方体的体积计算公式“正方体的体积棱长”，代入数值，进行解答即可． 【解答】解：， （立方厘米）； 答：每个正方体的体积是125立方厘米． 故答案为：125． 【点评】此题应结合题意进行分析，理解增加两个面，增加了8条棱，然后根据题中给出的条件，求出一条棱的长度，进而根据正方体的体积计算公式进行解答． 【典例三】明明想用一个圆柱形容器测量一个玻璃球的体积，他做了以下实验： ①给容器中注入一定量的水，接着把一个棱长6厘米的正方体完全浸没在水中，当把正方体从水中取出后，水面下降了9厘米。 ②将15个同样的玻璃球浸没在水中后，量得水面又上升了3厘米。 请你根据以上信息计算出一个玻璃球的体积。 【答案】4.8立方厘米。 【分析】（1）首先根据正方体的体积公式：，求出正方体的体积，用正方体的体积除以水面下降的高求出圆柱形容器的底面积； （2）根据圆柱的体积公式：，求出15个玻璃球的体积，然后再除以15就是一个玻璃球的体积，据此解答即可。 【解答】解： （平方厘米） （立方厘米） 答：一个玻璃球的体积为4.8立方厘米。 【点评】此题主要考查正方体的体积公式、圆柱的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 一．填空题（共7小题） 1．一个量筒，盛有280毫升的水．放入1颗玻璃弹珠后，水面上升到刻度是300毫升的地方．这颗玻璃弹珠的体积是　 　． 2．小悦用一块体积为216立方厘米的橡皮泥，捏塑成等底等高的一个圆柱和一个圆锥，圆柱的体积是　 　立方厘米，圆锥的体积是　 　立方厘米． 3．一个棱长为的正方体铁块，在8个角上各切下一个棱长为的小正方体，如图所示，将其投入底面积为，高为的圆柱形容器内，已知原来容器内水面高度为，那么，放入铁块后水面高度变为　　． 4．一个棱长是的正方体容器装满了水后，倒入一个底面积是的圆锥形容器正好装满，这个圆锥的高是　　． 5．雨哗哗地下个不停，如果在雨地里放一个那样容器，雨水下满要1个小时，那么雨水下满容器要　 　小时，下满容器要　 　小时． 6．一炉铁水凝成铁块，它的体积缩小了　 　；那么，这样铁块又融化成铁 水（不计损耗），