3.20圆锥曲线定值问题-2023-2024学年高二数学选择性必修第一册同步重点题型汇总

1．如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（    ）

  

A． B． C． D．

2．已知直线交抛物线于轴异侧两点，过向作垂线，垂足为，若点在以为圆心，半径为3的圆上，则（    ）

A．48 B．24 C．12 D．36

3．数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知抛物线的焦点为，点，过的直线垂直于，且交抛物线于两点，则（    ）

A．3 B．2 C．1 D．0

5．已知双曲线的离心率为2，左、右顶点分别为，右焦点为，点在的右支上，且满足，则（    ）

A． B．1 C． D．2

6．已知抛物线，经过的动直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，则为（    ）

A．锐角 B．直角

C．钝角 D．随着直线l的变化，可能是锐角、直角或钝角

7．设直线与双曲线相交于两点，为上不同于的一点，直线的斜率分别为，若的离心率为，则（    ）

A．3 B．1 C．2 D．

8．过抛物线的对称轴上的定点，作直线与抛物线相交于、两点．若点是定直线上的任一点，设这三条直线、、的斜率依次为，则下列关系式正确的是（    ）

A． B． C． D．

9．已知椭圆：的中心为，，是上的两个不同的点且满足，则（    ）

A．点在直线上投影的轨迹为圆

B．的平分线交于点，的最小值为

C．面积的最小值为

D．中，边上中线长的最小值为

10．已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是，点是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的是（    ）

A． B．若的面积为，则点的横坐标为

C．存在点满足 D．直线与直线的斜率之积为

11．已知点A为圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线交于点．

(1)求点的轨迹的方程；

(2)设轨迹E与轴分别交于两点（在的左侧），过的直线与轨迹交于两点，直线与直线的交于，证明：在定直线上．

12．已知椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为，O为坐标原点，线段OA的中点为D，且.

(1)求C的方程；

(2)已知点M、N均在直线上，以MN为直径的圆经过O点，圆心为点T，直线AM、AN分别交椭圆C于另一点P、Q，证明直线PQ与直线OT垂直.

13．已知是椭圆的顶点（如图），直线l与椭圆交于异于顶点的两点，且，若椭圆的离心率是，且，

  

(1)求此椭圆的方程；

(2)设直线和直线的斜率分别为，证明为定值.

14．已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆过，直线与椭圆交于、.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设直线、的斜率分别为、，证明：.

15．在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上的圆经过点，且被轴截得的弦长为.经过坐标原点的直线与圆交于，两点.

(1)求圆的方程；

(2)若点，直线与圆的另一个交点为，直线与圆的另一个交点为，分别记直线、直线的斜率为，，求证：为定值.

16．已知双曲线C：一个焦点F到渐近线的距离为．

(1)求双曲线C的方程；

(2)过点的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得为定值？如果存在，求出点N的坐标及该定值；如果不存在，请说明理由．

17．如图，抛物线在点（）处的切线交轴于点，过点作直线（的倾斜角与的倾斜角互补）交抛物线于，两点，求证：