3.19圆锥曲线定点问题-2023-2024学年高二数学选择性必修第一册同步重点题型汇总

3.19圆锥曲线定点问题 1．如图， 设直线与抛物线 (为常数) 交于不同的两点， 且当时， 抛物线的焦点到直线的距离为. 过点的直线交抛物线于另一点， 且直线过点， 则直线过点（    ）    A． B． C． D． 2．已知，是抛物线上异于坐标原点O的两个动点，且以AB为直径的圆过点O，过点O作于点M，则（    ） A．直线AB的斜率为 B．直线AB过定点 C．点M的轨迹方程为 D．的重心G的轨迹为抛物线 3．已知O为抛物线的顶点，直线l交抛物线于M，N两点，过点M，N分别向准线作垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是（    ） A．若直线l过焦点F，则N，O，P三点不共线 B．若直线l过焦点F，则 C．若直线l过焦点F，则抛物线C在M，N处的两条切线的交点在某定直线上 D．若，则直线l恒过点 4．已知抛物线方程为，点为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，切点为，则以下选项正确的是（    ） A．直线过定点 B．存在点使直线 C．的面积的最小值为 D．三角形重心的轨迹为一条直线 5．已知椭圆：的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)点、是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，，且，求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标. 6．如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.    (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线，的斜率分别为，，求的值； (3)证明：直线过定点. 7．如图，已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，点的轨迹为.    (1)求曲线的方程； (2)一条直线经过点，且交曲线于、两点，点为直线上的动点. ①求证：不可能是钝角； ②是否存在这样的点，使得是正三角形？若存在，求点的坐标；否则，说明理由. 8．已知焦点在轴上的椭圆，短轴长为，焦距为2.    (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点两点都在轴上方，且.证明：直线过定点，并求出该定点坐标. 9．已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的上、下顶点分别为，点，若直线与椭圆的另一个交点分别为点，证明：直线过定点，并求该定点坐标. 10．设O为坐标原点，点M，N在抛物线上，且. (1)证明：直线过定点； (2)设C在点M，N处的切线相交于点P，求的取值范围. 11．已知椭圆过点，且椭圆的离心率为 . (1)求椭圆的方程； (2)若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且为线段的中点，再过作直线，证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标. 12．已知F是抛物线C：的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)直线l与抛物线C交于A，B两点，若（O为坐标原点），则直线l否会过某个定点？若是，求出该定点坐标. 13．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，设为坐标原点，线段的中点为，且满足. (1)求椭圆的标准方程； (2)设点，圆过且交直线于两点，直线分别交于另一点（异于点）.证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 14．已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，求弦的中点的轨迹方程． 15．在平面直角坐标系中，已知动圆与圆内切，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知是曲线上一点，是曲线上异于点的两个动点，设直线､的倾斜角分别为，且，请问：直线是否经过定点？若是，请求出该定点，若不是，请说明理由. 16．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过坐标原点O且圆心在曲线上. (1)设直线l：与圆M交于C，D两点，且，求圆M的方程； (2)设直线与（1）中所求圆M交于E，F两点，点P为直线上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，且G，H在直线EF两侧，求证：直线GH过定点，并求出定点坐标. 17．已知椭圆过点，且上顶点与右顶点的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线交椭圆于两点，轴上是否存在点使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．在直角坐标平面内，已知，，动点满足条件：直线与直线斜率之积等于，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过直线：上任意一点作直线与，分别交于，两点，则直线是否过定点？若是，求出该点坐标；若不是，说明理由． 19．已知抛物线经过点，直线与交于，两点（异于坐标原点）． (1)若，证明：直线过定点． (2)已知，直线在直线的右侧，，与之间的距离，交于，两点，试问是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 20．已知椭圆E的中心在原点，周长为8的的顶点，为椭圆E的左焦点，顶点B，C在E上，且边BC过E的右焦点. (1)求椭圆E