3.16圆锥曲线面积问题-2023-2024学年高二数学选择性必修第一册同步重点题型汇总

3.16圆锥曲线面积问题

1．已知、分别为椭圆：的左、右焦点，不过原点且斜率为1的直线与椭圆交于、两点，则下列结论正确的有（    ）

A．椭圆的离心率为

B．椭圆的长轴长为

C．若点是线段的中点，则的斜率为

D．的面积最大值为

2．在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线（Cassinioval）.在平面直角坐标系xOy中，动点到两个定点，的距离之积等于3，化简得曲线C：.则下列结论正确的是（    ）

A．曲线C关于y轴对称 B．的最小值为

C．面积的最大值为 D．的取值范围为

3．已知椭圆的左，右两焦点分别是，其中.直线与椭圆交于两点，则下列说法中正确的有（    ）

A．的周长为

B．若的中点为，则

C．若，则椭圆的离心率的取值范围是

D．若时，则的面积是

4．为抛物线的弦，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边.若弦过焦点，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．底边的直线方程为；

C．是直角三角形；

D．面积的最小值为.

5．设点，，的坐标分别为，，，动点满足：，给出下列四个命题：

①点的轨迹方程为；②；

③存在4个点，使得的面积为；④.

则正确命题的有（    ）

A．① B．② C．③ D．④

6．已知抛物线：，为坐标原点，直线交抛物线于，两点，若，则（    ）

A． B．直线过定点

C．的最小值为 D．的最小值为2

7．已知双曲线的左右顶点为，左右焦点为，直线与双曲线的左右两支分别交于两点，则（    ）

A．若，则的面积为

B．存在弦的中点为，此时直线的方程为

C．若的斜率的范围为，则的斜率的范围为

D．直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，则

8．双曲线左右焦点分别为，右支上有点，的面积为4，则（    ）

  

A．双曲线的渐近线斜率为

B．

C．

D．外接圆半径为

9．已知O为坐标原点，点是抛物的准线上一点，过点E的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

10．已知抛物线的焦点为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为

，，则的面积为（    ）

A． B． C．12 D．

11．设动点与点之间的距离和点到直线的距离的比值为，记点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程；

(2)若为坐标原点，直线交曲线于两点，求的面积.

12．已知椭圆的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率，且过点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线与椭圆交于两点，且直线的倾斜角互补，点，求三角形面积的最大值．

13．如图所示，以原点为圆心，分别以2和1为半径作两个同心圆，设为大圆上任意一点，连接交小圆于点，设，过点分别作轴，轴的垂线，两垂线交于点．

  

(1)求动点的轨迹的方程；

(2)点分别是轨迹上两点，且，求面积的取值范围．

14．在中，已知点，，边上的中线长与边上的中线长之和为6；记的重心的轨迹为曲线.

(1)求的方程；

(2)若圆：，，过坐标原点且与轴不重合的任意直线与圆相交于点，，直线，与曲线的另一个交点分别是点，，求面积的最大值.

15．直线交抛物线于、两点，线段中点的横坐标为，抛物线的焦点到轴的距离为.