3.2.待定系数法求椭圆方程-2023-2024学年高二数学选择性必修第一册同步重点题型汇总

3.2.待定系数法求椭圆方程

1．已知椭圆方程为，其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为，则椭圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

2．已知椭圆的两条弦，相交于点（点在第一象限），且轴，轴.若，则（    ）

A．2 B． C． D．

3．P为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为A，B，C，D，若，则P到x轴的距离为（    ）

A． B． C． D．

4．与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆方程为（    ）

A． B． C． D．

5．已知椭圆的中心为O，左、右焦点分别为，，M为椭圆C上一点，线段与圆相切于该线段的中点N，且的面积为4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)椭圆C上是否存在三个点A，B，P，使得直线AB过椭圆C的左焦点，且四边形是平行四边形？若存在，求出直线AB的方程；若不存在.请说明理由.

6．椭圆的离心率为，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求的取值范围．

7．已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线

(1)求的方程；

(2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．

8．已知椭圆的焦点在轴上，且过点，焦距为，设为椭圆上的一点，、是该椭圆的两个焦点，若，求：

(1)椭圆的标准方程

(2)的面积．

9．设椭圆C：的左、右顶点分别为A、B，且焦距为2．点P在椭圆上且异于A、B两点．若直线PA与PB的斜率之积为．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点作不与轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为：，过点M作垂直于直线，交于点E．判断直线是否过定点，并说明理由．

10．已知椭圆：经过，两点，过的左焦点作一条直线交于，两点，点位于轴的正半轴上，连接，并延长交直线于，两点，若.

(1)求椭圆的方程；

(2)确定点的坐标.

11．水星运转的轨道是以太阳的中心为一个焦点的椭圆，轨道上离太阳中心最近的距离约为，最远的距离约为.假设以这个轨道的中心为原点，以太阳中心及轨道中心所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求水星轨道的方程.

12．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)长轴长为18，离心率为；

(2)经过点，，焦点在x轴上.

13．已知椭圆C：过点，且C的右焦点为．

(1)求C的离心率；

(2)过点F且斜率为1的直线与C交于M，N两点，P直线上的动点，记直线PM，PN，PF的斜率分别为，，，证明：．

14．已知椭圆：，为椭圆的右焦点，三点，，中恰有两点在椭圆上.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设点为椭圆的左右端点，过点作直线交椭圆于，两点（不同于），求证：直线与直线的交点在定直线上运动，并求出该直线的方程.

15．已知椭圆:过点，且离心率为，设、分别为椭圆的左右顶点，、为椭圆的左右焦点，点为椭圆上不同于、的任意一点，点是椭圆长轴上的不同于、的任意一点

(1)求椭圆的标准方程；

(2)当内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；

(3)设直线与椭圆的另一个交点为点，若的值为定值，则称此时的点为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由.

16．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两个动点，面积的最大值为2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线，的斜率分别为，，和的面积分别为，.若，求的最大值.

17．已知椭圆的右焦点为，短轴长等于焦距．

(1)求的方程；

(2)过的直线交于，交直线于点，记的斜率分别为，若，求的值．

18．如图，已知椭圆()的左右焦点分别为，，点为上的一个动点(非左右顶点)，连接并延长交于点，且的周长为，面积的最大值为2．