1.3 正方形的性质与判定同步练习2023-2024学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定 一、选择题 1. 下列说法正确的是（       ） A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C．四条边相等的四边形一定是正方形 D．四个角是直角的四边形是正方形 2. 下列四个命题中，正确的是（       ） A．一组对边平行且相等的四边形是菱形 B．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是矩形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 3. 如图，正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为和，则的值为(     ) A．1 B． C． D． 4. 如果证明平行四边形为正方形，那么我们需要进一步证明（　　） A．且 B．且 C．且 D．和互相垂直平分 5. 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，正方形的顶点C，D在第二象限，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 6. 如图，正方形和正方形中，点在上，是的中点，那么的长是（       ）     A． B． C． D．2 7. 如图．正方形 的面积为 是等边三角形．点 在正方形 内．在对角线 上有一点 ．使 最小．则这个最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8. 如图正方形的面积为24，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一动点P，要使最小，则这个最小值为（       ） A． B． C． D． 9. 如图，四边形和四边形均为正方形，点为的中点，若，连接，则的长为（） A． B． C． D． 10. 如图，正方形的边长为8，点，分别在，上，，，是对角线上的个动点，则的最小值是（       ）     A． B． C． D． 11. 如图，正方形，，，…照如图所示的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，已知点，，则的坐标是（　　） A． B． C． D． 12. 如图，在正方形中，，E为对角线上与不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，下列结论：①；②；③；④的最小值为；⑤若连接得到的在运动过程中可能是等边三角形．其中正确结论有（       ） A．①③④ B．①②③④ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 二、填空题 13. 已知在平面直角坐标系中，正方形的对角线相交于点，且正方形顶点D的坐标为，那么正方形顶点B的坐标为___________．     14. 如图，平行四边形对角线互相垂直，若添加一个适当的条件使四边形成为正方形，则添加条件可以是_____（只需添加一个）． 15. 七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，也被誉为“东方魔板”，19世纪传到国外，被称为“唐图”.如图是由边长为8cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，点是正方形的中心，点为的中点，该“七巧板”中7块图形之一的正方形（阴影部分）面积为______． 16. 点E为正方形对角线的中点，点P为下方一点，，，，则长为______． 三、解答题 17. 如图，在矩形中，点在边上，连接，将矩形沿折叠，点的对称点落在边上，连接．求证：四边形是正方形． 18. 如图，在正方形中，E，F分别是边上的一点，，连接．     (1)求证：； (2)如图1，连接交于点G，连接，若，求的值； (3)如图2，过点F作于点M，若，，直接写出的长． 19. 已知边长为的正方形中，是对角线上的一个动点（与点，不重合），过点作，交射线于点，过点作，垂足为点．     (1)当点落在线段上时（如图所示），设，的面积为，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域； (2)在点的运动过程中，能否为等腰三角形？如果能，试求出的长，如果不能，试说明理由． 20. 【课本再现】 (1)如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动，则下列结论正确的是_______（填序号即可）．①；②；③四边形的面积总等于；④连接，总有．     【类比迁移】 (2)如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，求线段的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$