2.4.1直线与圆锥曲线的位置关系 导学案-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

高 二 年级 数学 学科导学案 命题 班级 学号 姓名 得分 课题：直线与圆锥曲线的位置关系 【学习目标】1.会用代数法来判断直线与圆锥曲线交点的个数.2.会由直线与圆锥曲线的交点个数，求参数的范围． 【重点难点】掌握直线与圆锥曲线的位置关系的相关题型 【学习流程】 ◎基础感知 回顾：(1)直线与椭圆的交点问题．(2)直线与双曲线的交点问题． (3)直线与抛物线的交点问题． ◎探究未知 题型一、直线与圆锥曲线的位置关系 方法技巧：关于直线与圆锥曲线的交点个数判断 (1)代数法：直线与圆锥曲线的方程联立、消元， ①如果得到的是一元二次方程，则利用Δ判断方程根的个数，即直线与圆锥曲线交点的个数； ②如果得到的是一元一次方程，则表示直线与双曲线的渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，此时直线与圆锥曲线有一个交点． (2)几何法：一般适用直线与双曲线的位置关系，可以判断直线的斜率与渐近线斜率的大小，结合图象可以判断直线与双曲线的交点个数． 例1．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A． B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4] 例2．已知双曲线C：x2－＝1，过点P(1，2)的直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 例3．若椭圆＋y2＝a2(a＞0)与连接两点A(1，2)，B(3，4)的线段有公共点，则实数a的取值范围为________． 题型二、直线与圆锥曲线相切问题 方法技巧：　关于直线与圆锥曲线相切的问题 (1)直线与圆锥曲线相切与直线与圆锥曲线有一个交点不同，相切是当两个交点重合为一个交点时的情况，而相交于一个交点则是与渐近线、抛物线的对称轴平行时的情况； (2)利用直线与圆锥曲线相切可以求参数的范围、解决距离的最值问题等． 例4. 设点M是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上一动点，椭圆的长轴长为4，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)求点M到直线l1：x＋y－5＝0距离的最大值及此时点M的坐标． 跟踪训练：设双曲线Γ的方程为x2－＝1.设l是经过点M(1，1)的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l的方程． 题型三、直线与圆锥曲线的弦长问题 （1） 、求弦长 方法技巧：直线与圆锥曲线相交时弦长的求法 (1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．(客观题常用) (2)点距法：将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．(不常用) (3)弦长公式法：它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系．(常用方法) 例5.(2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P. (1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程． (2)若＝3，求|AB|. （2） 、中点弦问题 方法技巧：中点弦问题常用的求解方法 (1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率． (2)根与系数的关系法：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解． 例6. ◎达标检测 1．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是(　　) A．1　 B．2　 C．1或2　 D．0 2．过抛物线y2＝4x的焦点作倾斜角为135°的弦AB，则AB的长度是(　　) A．4　 B．4　 C．8　 D．8 3．(教材练习改编)直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于(　　) A．2或－2 B．－1 C．2 D．3 4．已知直线y＝与椭圆＋＝1(a>b>0)交于B，C两点，且以BC为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点F，则该椭圆的离心率是________． 【总结反思】 1、关于直线与圆锥曲线的交点个数判断 代数法，几何法 2、培养逻辑推理、数学运算 高二数学导学案 本学案共5 页，第 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$