专题02 空间向量解决位置关系，夹角及距离九个重难点归类-2023-2024学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练（人教A版2019）

专题02空间向量解决位置关系，夹角及距离九个重难点归类 一、直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作，显然一条直线的方向向量可以有无数个. （2）若直线，则该直线的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作,有无数多个，任意两个都是共线向量. 2.利用空间向量表示空间线面平行、垂直 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. 位置关系 平行 垂直 线线（与） 线面（与） 面面（与） 3.利用空间向量求空间角 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. （1）直线所成的角为，则，计算方法：； （2）直线与平面所成的角为，则，计算方法：； （3）平面所成的二面角为，则， 如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小． 如图②③，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小θ满足，二面角的平面角大小是向量与的夹角(或其补角)． 4.利用空间向量求距离 （1）点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面的一条斜线段，为平面的法向量，则B到平面的距离为. （2）点到直线的距离 设为直线上一点, 为直线的方向向量, 在向量方向上的投影向量的模长为,则点到直线的距离. 【重难点一 直线的方向向量及平面的法向量】 例1．已知平面，其中点，法向量，则下列各点中不在平面内的是（    ） A． B． C． D． 例2．（多选）已知空间中三点，则下列结论正确的有（    ） A． B．与共线的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 平面法向量的求法：设平面的法向量为， 在平面内找出（或求出）两个不共线的向量， 根据定义建立方程组，得到，通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量. 【跟踪练习】 练习1．如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（    ）． A．（1，，4） B．（，1，） C．（2，，1） D．（1，2，） 练习2．（多选）在如图所示的空间直角坐标系中，为棱长是1的正方体，下列结论正确的是（　　）    A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 练习3．（多选）已知空间中，则下列结论正确的有（    ） A． B．与共线的单位向量是 C． D．平面的一个法向量是 练习4．如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．求平面的一个法向量.    【重难点二 证明平行与垂直】 例3．（多选）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使∥的是（    ） A． B． C． D． 例4．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【跟踪练习】 练习1．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则_____. 练习2．如图所示，是一个正三角形，平面，∥，且， M是EA的中点．求证：平面平面.    练习3．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，三角形为正三角形，且侧面底面.分别为线段的中点.    (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 练习4．如图，在四棱锥中，底面，，，，，E是PC的中点．证明：PD⊥平面ABE.    【重难点三 点面（线面、线线）距离】 例5．如图，在长方体中，，，为中点，则到平面的距离为（    ）    A．1 B． C． D．2 例6．如图，在长方体中，，．    (1)求顶点到平面的距离； (2)求直线到平面的距离． 【跟踪练习】 练习1．已知正方形的边长为4，平面，，E是中点，F是靠近A的四等分点，则点B到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 练习2．（多选）如图，为正方体，边长为1，下列说法正确的是（    ）    A．平面 B．到面的距离为 C．异面直线与的距离为 D．异面直线与的夹角为 练习3．已知正方体中，E，M，N分别为的中点，判断直线与平面的关系．如果平行，求出与平面之间的距离；如果不平行，说明理由． 练习4．在棱长为1的正方体中，点、分别为棱、的中点，点为棱上的一点，且，求点到平面的距离．    【重难点四 点线距离】 例7．菱形的边长为4，，E为AB的中点（如图1），将沿直线DE翻折至处（如图2），连接，，若四棱锥的体积为，点F为的中点，则F到直线BC的距离为（   ）    A． B． C． D． 例8．如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，是棱上两点（在的上方），且.    (1)若，求证：平面； (2