专题03 不等式及二次不等式十个重难点归类-2023-2024学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册）

专题03不等式及二次不等式十个重难点归类 一、不等式的性质 1.不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 双向性 传递性 单向性 可加性 双向性 同向可加性 单向性 可乘性 单向性，注意的符号 同向同正可乘性 单向性 可乘方性 单向性 可开方性 单向性 2.倒数以及分数的有关性质 倒数的性质 . . . . 分数的性质（） ； ； 二、一元二次不等式及其解法 1．三个“二次”之间的关系 判别式 的图象 一元二次方程的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 一元二次不等式的解集 _____ _____ 一元二次不等式的解集 _____ 2．一元二次不等式恒成立问题 （1）恒成立的充要条件是：或 （2）恒成立的充要条件是：或 【重难点一 判断及证明不等式】 例1．（多选）已知，，，则下列命题为真命题的是（　　） A．若，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 例2．已知：，则大小关系是_____． （1）利用不等式判断正误的2种方法 ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． （2）利用不等式的性质证明不等式的注意事项 应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 【跟踪练习】 练习1．对于实数，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 练习2．若，，，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 练习3．已知三个不等式：①；②；③.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，能组成哪几个正确的不等式？ 练习4．（1）设，比较与的大小； （2）已知，，，求证：． 【重难点二 利用不等式的性质求范围】 例3．已知，，分别求，，，的取值范围． 例4．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性． 【跟踪练习】 练习1．已知，，则的取值范围是_____. 练习2．（多选）已知，则的取值可以为（    ） A．1 B． C．3 D．4 练习3．已知，分别求： (1)的取值范围； (2)的取值范围； (3)的取值范围. 练习4．（1）已知，．求和的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 【重难点三 解不含参一元二次不等式】 例5．下列四个不等式中解为一切实数的是（    ） A． B． C． D． 例6．解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4). 解一元二次不等式的一般步骤： （1）通过对不等式变形，使二次项系数大于零； （2）计算对应方程的判别式； （3）求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； （4）根据函数图象与轴的相关位置写出不等式的解集． 【跟踪练习】 练习1．已知，，若是的充分条件，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 练习2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 练习3．（多选）“”的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 练习4．解下列不等式： (1)； (2)． 【重难点四 解分式不等式】 例7．已知全集为，则有（    ） A． B． C． D． 例8．不等式的解集为_____． （1）对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． （2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 【跟踪练习】 练习1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 练习2．设集合，则（    ） A． B． C． D． 练习3．设集合，，则的子集的个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 练习4．不等式的解集为_____. 【重难点五 解绝对值不等式】 例9．若集合，则（    ） A． B． C． D． 例10．集合的真子集的个数是（    ） A．15 B．16 C．31 D．32 和型不等式的解法 ①； ② 【跟踪练习】 练习1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 练习2．若，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充