求数列的通项公式-2024届高三数学一轮复习

§6.4　求数列的通项公式 数列求通项公式10种方法 1.作差法 2.作商法 3.累加法 4.累乘法 构造辅助数列法 5.待定系数法 7.取倒数法 6.同除以指数法 8.周期型数列 例（1）.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则an＝________. 2n＋1 由an与Sn 的关系、Sn与n的关系求通项公式 题型一 求数列通项常用方法—1.作差法 当n＝1时，a1＝S1＝3. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1. 由于a1＝3适合上式，∴an＝2n＋1. 　(2)设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则a4等于 A.27 B.81 C.93 D.243 √ 根据2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3， 两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an， 当n＝1时，2S1＝3a1－3，解得a1＝3， 所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以a4＝a1q3＝34＝81. (3)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝_______________. 当n＝1时，a1＝21＝2. ∵a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n， ① ∴a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2n－1(n≥2)， ② 练习1.已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则数列{an}的通项公式an＝________. 4n－5 a1＝S1＝2－3＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)] ＝4n－5， 因为a1也适合上式，所以an＝4n－5. 8 2.已知数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________. －2n－1 当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1， ∴a1＝－1. 当n≥2时，Sn＝2an＋1， ① Sn－1＝2an－1＋1. ② ①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1， 即an＝2an－1(n≥2)， ∴{an}是首项为a1＝－1，公比为q＝2的等比数列. ∴an＝a1·qn－1＝－2n－1. 3. 解： 求数列通项常用方法—1.作差法 求数列通项常用方法—1.作差法 解： ① ② ①－②得， 变式2. 求数列通项常用方法—1.作差法 解： ① ② ①－②，得 变式2. 解法2： 小结：题目中有 Sn 求 an，必用作差法. 谁简单化掉谁 (2)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则an＝ ________________. 由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn， 跟踪训练1　 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n＋1，n∈N*， 则an＝_____________. 作业 根据题意，可得Sn－1＝2(n－1)2＋(n－1)＋1. 由通项公式与求和公式的关系，可得an＝Sn－Sn－1， 代入化简得 an＝2n2＋n＋1－2(n－1)2－(n－1)－1＝4n－1. 经检验，当n＝1时，S1＝4，a1＝3，所以S1≠a1， 作业 由数列的递推关系求通项公式 题型二 1　累加法 形如an+1-an=f(n),求an 例2　在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ 则an等于 A.2＋ln n B.2＋(n－1)ln n C.2＋nln n D.1＋n＋ln n √ 所以a2－a1＝ln 2－ln 1， a3－a2＝ln 3－ln 2， a4－a3＝ln 4－ln 3， …… an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)， 把以上各式分别相加得an－a1＝ln n－ln 1， 则an＝2＋ln n(n≥2)，且a1＝2也适合，因此an＝2＋ln n(n∈N*). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 例3. 解： f(n)=d是等差 变式1. 求数列通项常用方法—3.累加法 解： f(n)=d是等差 变式2. 求数列通项常用方法—3.累加法 解： f(n)=d是等差 + 作业 例1： 跟踪训练： 例4. 求数列通项常用方法—4.累乘法 练习1隐含作差法. 解： 变式1. 求数列通项常用方法—4.累乘法 解： 练习1隐含作差法. 变式2.设{an }是首项为1的正数数列,且 (n+1)a2n+1–na2n+an+1an=0 (n∈N﹡),求an. 解:（n+1)a2n+1–na2n+an+1an=0 分解因式为