等比数列及其前n项和课件-2024届高三数学一轮复习

§6.1　等比数列及其前n项和 考试要求 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.了解等比数列与指数函数的关系． (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于________常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0). 1.等比数列的概念 同一个 (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2＝______. ab 3 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝__________； 通项公式的推广：an＝amqn－m. 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 a1qn－1 4 考点　等比数列基本量的运算 D 解　设等比数列{an}的公比为q， 因为数列{an}的各项均为正数，所以a1＞0，且q＞0，故A，B正确； 由q2－2q－3＝0，解得q＝3或q＝－1(舍)， ABD 莞的长度组成等比数列{bn}，其b1＝1，公比为2， 其前n项和为Bn. 3.(2022·亳州模拟)《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺，蒲生日自半，莞生日自倍.意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍.”则当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数是________.(结果精确到0.1.参考数据：lg 2＝0.30，lg 3＝0.48)(　　) A.2.9天 B.3.9天 C.4.9天 D.5.9天 C 解　设公比为q，则an＝a1qn－1， 5.(2022·百校大联考)已知在等比数列{an}中，a1a3a11＝8，则a2a8＝________. 4 解　当q＝1时，a3＝7，S3＝21，符合题意； 6.(易错题)已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是____________. 解　易知S2，S4－S2，S6－S4构成等比数列， 由等比中项得S2(S6－S4)＝(S4－S2)2， 即4(S6－6)＝22，所以S6＝7. 3.(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2＝4，S4＝6，则S6＝(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 A (2)[2023·浙江杭州期末]已知正项等比数列前n项和为Sn，且a1＋a3＝6，S4＋a2＝S3＋3，则等比数列的公比为(　　) A．　　　B．2　　　C．　　　D．3 答案：A 解析：因为S4＋a2＝S3＋3， 所以S4－S3＋a2＝a4＋a2＝3， 设公比为q，可得：， 两式相除得：q＝.故选A. 题型一　等比数列基本量的运算 例1 (1)[2023·安徽马鞍山模拟]等比数列中，已知a1＋a4＝9，a2＋a5＝18，则S5＝(　　) A．31 B．32 C．63 D．127 答案：A 解析：因为等比数列中，已知a1＋a4＝9，a2＋a5＝18，设等比数列公比为q， 所以a2＋a5＝q＝9q＝18，解得q＝2， 所以a1＋a1q3＝a1＋a1×23＝9，解得a1＝1， 所以S5＝＝31.故选A. 感悟提升 考法　等比数列的判定与证明 定义法 若  =q(q为非零常数,n∈N*)或  =q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),则{an}是等比数列 等比中项法 若数列{an}中,an≠0且  =an·an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列 通项公式法 若数列的通项公式可写成an=c·qn-1(c,q均是不为0的常数,n∈N*)的形式,则{an}是等比数列 前n项和公式法 若数列{an}的前n项和Sn=k·qn-k(k为常数且k≠0,q≠0,1),则{an}是等比数列 数列{an}不是等比数列,只需要说明前三项满足 ≠a1·a3,或者存在一个正整数m,使得 ≠am·am+2即可. 常用结论 (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为______. qm 2 * C 解　当n＝1时，a1＝S1＝3＋b， 当n≥2，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1， 当b＝－1时，a1＝2适合an＝2·3n－1，{an}为等比数列. 当b≠－1时，a1不适合an＝2·3n－1，{an}不是等比数列. 2.设b∈R，数列{an}的前n项和Sn＝3n＋b，则(　　) A.{an}是等比数列 B.{an}是等差数列 C.当b＝－1时，{an}是等比数列 D.当b≠－1时，{an}是等比数列 考点　等比数列的判定与证明 解　易知q≠1，由题意可得