第十二章 全等三角形重点模型讲练-【专题突破】2023-2024学年八年级数学上册重难点培优及章末梳理与检测（人教版）

第十二章 全等三角形重点模型讲练 在几何综合探究题中，经常会遇到图形的旋转，常常会涉及到两个重点的全等模型，手拉手模型和半角模型，学习这两个模型有助于我们快速确定思路，形成解题方案。 一、手拉手模型 【探究一】“手拉手”模型基本构图； 如图1，若与旋转全等，则必有与为两个顶角相等的等腰三角形（即相似的等腰三角形）； 反之，如图2，若有两个顶角相等的等腰三角形与共顶角顶点，则必有与旋转全等；而图2正是“手拉手”模型的基本构图； 【探究二】将探究一中的普通等腰三角形换成特殊的图形，例如等边三角形、等腰直角三角形、正方形，然后再探究结论如何变化； 如图3、图4、图5，当两个等边三角形、等腰直角三角形、正方形共顶点时，与仍然旋转全等，并且有两个共同的结论； 结论1：≌；； 结论2：与所夹锐角等于两个等腰三角形的顶角；（倒角方法如下图6、图7、图8的八字模型） 【探究三】将探究二中的特殊图形旋转后结论是否仍然成立； 如下图9、图10、图11易得探究二中的两个结论仍然成立； 【探究四】深化探究二中图3的结论； 如图12，可得 结论1：≌；； 结论2：； 结论3：如图12、图13、图14，可得三对三角形全等（≌；≌；≌） 结论4：如图15，连接，可得为等边三角形；（由结论3可得） 结论5：；（由结论4可得） 结论6：连接，可得平分；（如图16，分别作、，与分别是全等三角形与对应边和上的高，故相等） 1. 如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA＞OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论： ①△AOC≌△BOD；②AC=BD；③∠AMB=40°；④MO平分∠BMC． 其中正确的个数为（　　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2. 如图，，，．，与交于点．    （1）求证：； （2）求的度数． 3. 如图，与是以点A为公共顶点的两个三角形，且，，，且线段、交于F．    (1)求证：． (2)在不添加任何辅助线和字母的情况下，直接写出图中所有的直角三角形． 4. 如图，，，，，BE与CD交于点F，连接AF．求证： (1)； (2)FA平分． 5. 在△AOB和△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD，连接AC、BD． (1)如图1，求证：AC＝BD； (2)如图2，当OA＝OD时，连接BC，延长BD、CA交于点E，AB、CD交于点F，在不添加任何字母及辅助线的情况下，请直接写出图中四对全等三角形（第一问中用到的除外）． 6. 有两个三角形，分别为和其中，． （1）若按图①所示位置摆放，使得与重合，连接，则与CE 的数量关系是__________； （2）在图①中延长BD交CE于点，如图②所示，求的度数； （3）若按图③所示位置摆放，连接且与交于点F，请判断与之间的关系，并说明理由 7. 如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD． （1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由； （2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； （3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由； ②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． 二、半角模型 条件：两边相等 . 思路：1、旋转 辅助线：①延长CD到E，使ED=BM，连AE或延长CB到F，使FB=DN，连AF ②将△ADN绕点A顺时针旋转90°得△ABF，注意：旋转需证F、B、M三点共线 结论：（1）MN＝BM＋DN； （2）； （3）AM、AN分别平分∠BMN、∠MND . 2、翻折（对称） 辅助线：①作AP⊥MN交MN于点P ②将△ADN、△ABM分别沿AN、AM翻折，但一定要证明M、P、N三点共线 . 8. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD． 9. 问题背景： （1）如图1：在四边形中，，，．E，F分别是上的点．且．探究图中线段之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点G．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是　． 探索延伸： （2）如图2，若在四边形中，，．E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 10. （1）【问题背景】如图1：在四边形中，，，，E、F分别是上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应