第十二章 全等三角形基本模型讲练-【专题突破】2023-2024学年八年级数学上册重难点培优及章末梳理与检测（人教版）

第十二章 全等三角形基本模型讲练 几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉全等三角形的基本模型，有助于快速、准确地识别全等三角形，从而顺利找到解题思路和方法.全等三角形的四类基本模型：平移型、对称型、旋转型、一线三等角 一、平移型 模型特征：两个三角形一组边共线或部分重合，另两组边分别平行 . 其中一个三角形可以看作是另一个三角形平移得到的，且平移前后两个三角形全等. 提示：要善于利用公共边的和差变化推出等边；利用平行的性质推出等角. 例1 如图，B是的中点，，.求证：．    例2 如图，已知，，，求证：．    例3 如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，．    (1)求证：； (2)若，求的大小． 例4 如图，点，在线段上，，，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 例5 如图，在和中，点A、B、C在一条直线上，．求证：．    例6 如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD ⊥ AB于点 D，AF 平分∠CAB，交 CD 于点 E，交 CB 于 点F. （1） 求证：CE = CF； （2） 将图 1 中的△ADE 沿射线 AB 方向平移到△A′D′E′的位置，使点 E′落在 BC 边上，其他条件不变，如图 2，请猜想 BE′与 CF 的数量关系，并证明你的结论． 二、翻折型 模型特征：所给图形沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合 . 在题目中经常通过“折叠”这一活动出现，或图象以轴对称形式呈现 . 分以下两类： 共边型 共角型 提示：解题时注意隐含的公共边和公共角、对顶角. 例7 如图为一风筝骨架：已知，，求证：． AI 例8 如图，点B，F，C，E在同一直线上，，相交于点M，，，，求证：．    例9 如图，是的平分线，，点在上，，，，分别是垂足，求证：．     例10 如图，于点，于点，．若，，求的长．    例11 如图，已知平分，．求证：．    例12 如图，在与中，，平分．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 例13 如图，，，请判断∠B和∠C的大小关系，并说明理由．    例14 如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 例15 如图，在四边形中，，点，分别是，的中点，，．求证：．      三、旋转型 模型特征：该模型可看成将三角形绕某点旋转一定角度所得，在题目中经常通过“旋转”这一活动出现，可得旋转前后两个三角形全等 . 基本图形有以下几种： 提示：解题时注意利用重叠角和公共角，找准旋转前后的对应边、对应角. 例16 已知：如图，，．求证：    例17 如图，，．求证：． 例18 已知：如图，点C，E在线段上，．求证：．    例19 已知：，，，求证：．    例20 如图，，，，求证：．    例21 如图，已知，则．请通过完成以下填空的形式说明理由． 证明：∵（已知） ∴ （等式的性质） 即　 　=　 　 在和中 （已知） ∠　 　=∠　 　（已知） 　=　 　（已证） ∴　 　≌　 　；（SAS） ∴　 　=　 　；（全等三角形的对应边相等） 例22 如图，已知点、、、在同一直线上，，，．    (1)求证：； (2)，，求的度数． 例23 如图，中，，，点为延长线上一点，点在上，且．    (1)求证：． (2)若，求的度数． 例24 如图，在中，是边上的高，是边上的高，且，交于点，若，，，求线段长度．    例25 如图，线段相交于点，且，点在线段上，．求证：．      例26 如图，已知，，点F、C在线段上，且，请问图中有哪几对全等三角形，并任选其中一对给予证明．    例27 如图，于点E，于点F，若平分，．    (1)求证：； (2)请猜想与之间的数量关系，并给予证明． 四、一线三等角型 模型特征：同一直线上出现三个相等的角，其中两个角的一边落在该直线上，第三个角的顶点落在该直线上，常见的一线三垂直图形 锐角型： 钝角型： 直角型： 提示：解题时注意找等边，互余导角，证明全等. 例28 如图1，在中，，过点C在外作直线于点M，于点N．    (1)求证:; (2)如图2，若过点C在内作直线于点M，于点N，则图(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由． 例29 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．    (1)问题发现 ___；___；___；___； (2)类比探究 求证：． (3)拓展延伸 组员小明想，如果三个角不是直角，那么（2）中的结论是