第十二章 全等三角形辅助线添加技巧讲练-【专题突破】2023-2024学年八年级数学上册重难点培优及章末梳理与检测（人教版）

第十二章 全等三角形辅助线添加技巧讲练 技巧1 连接与延长 例1 如图，，平分，平分，求证：． 例2 如图，在Rt△ABC中，，，，且交的延长线于E，则与有何关系？说明理由． 例3 如图，已知AC，BD相交于点O，，．求证：． 例4 如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F． (1)求证：BE＝CG； (2)判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论． 例5 已知，如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试问：DE和DF相等吗？说明理由． 例6 如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，O为BC的中点，点E、D分别为边AB、AC上的点，且满足OE⊥OD，求证：OE=OD． 技巧2 倍长中线 例7 在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD的取值范围是　 　． 例8 如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA⊥OC． （1）求证：CO平分∠ACD； （2）求证：AB+CD=AC． 例9 【阅读理解】数学兴趣小组活动时，老师提出如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明提出了如下解决方法，延长线段至点E，使，连接．请根据小明的方法回答下列问题． (1)由已知和作图能得到的理由是____________． A．        B．        C．        D． (2)探究得出的取值范围___________． A．        B．        C．        D． 【问题解决】 (3)如图2，在中，，，是的中线，求证：． 例10 阅读下面文字并填空：数学课上张老师出了这样一道题：“如图，在中，，是中线，点为的中点，连接.求证：”    张老师给出了如下简要分析：“要证，就是要证线段的倍分问题，所以有两个思路，思路一：找，故取的中点，连接，只要证即可.这就将证明线段倍分问题______为证明线段相等问题，只要证出______，则结论成立.思路二：变为，因为需要找到，于是延长至点，使，只要证______即可.连接，若证出____________则结论成立.”你认为在现阶段可以用思路______来完成这个证明. 例11 如图，是的中线，是的中线，且．求证： (1)； (2)平分． 例12 【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点，使 请根据小明的方法思考：    （1）求得的取值范围是___________； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题 如图，已知，，，为的中点．    （2）如图1，若，，共线，求证：平分 ； （3）如图2，若，，不共线，求证：； （4）如图3，若点在上，记锐角，且，则的度数是___________（用含的代数式表示）． 技巧3 截长补短 例13 如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（　　　） A．6 B．7 C．8 D．9 例14 如图，在中，AD平分，，，，则AC的长为（    ） A．3 B．9 C．11 D．15 例15 如图，在中，，是的角平分线交于，过作于点，点在上，且． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求线段的长， 例16 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE+FD． 例17 （1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：　 　； （2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：　 　． 技巧4 做垂线 例18 如图，在梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB的中点，DE平分∠ADC． (1)求证：CE平分∠BCD； (2)求证：AD+BC=CD． 例19 在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，CB=CD．求证：AC平分∠BAD． 例20 如图，点