专题3.5 圆周角、圆内接四边形【十大题型】-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列（浙教版）

专题3.5 圆周角、圆内接四边形【十大题型】 【浙教版】 【题型1 圆周角的运用】 2 【题型2 圆内接四边形的运用】 3 【题型3 利用圆的有关性质求值】 4 【题型4 利用圆的有关性质进行证明】 5 【题型5 翻折中的圆的有关性质的运用】 7 【题型6 利用圆的有关性质求最值】 9 【题型7 利用圆的有关性质求取值范围】 10 【题型8 利用圆的有关性质探究角或线段间的关系】 11 【题型9 利用圆的有关性质判断多结论问题】 13 【题型10 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】 14 【知识点1 圆周角定理及其推论】 圆周角定理 定理：圆周角的度数等于它所对的弧的圆心角度数的一半 是所对的圆心角， 是所对的圆周角， 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 和都是所对的圆周角 推论2：直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径 是的直径 是所对的圆周角 是所对的圆周角 是的直径 【题型1 圆周角的运用】 【例1】（2023春·山东泰安·九年级东平县实验中学校考期末）如图，的直径是，，圆的半径是4，则弦的长是（    ）．    A． B． C． D． 【变式1-1】（2023春·广西玉林·九年级统考期末）如图，在中，为的直径，已知，，，，则 ．    【变式1-2】（2023春·江西九江·九年级校考期中）如图，内接于，连接，若，则的度数为 ．    【变式1-3】（2023春·湖北省直辖县级单位·九年级统考期末）如图，为半圆的直径，，点到弦的距离为4，点从出发沿方向向点以每秒1个单位长度的速度运动，连接，当为等腰三角形时，点运动的时间是(    ) A．或4 B．或5 C．4或5 D．，4或5 【知识点2 圆内接四边形】 圆的内接四边形对角互补 四边形是的内接四边形 【题型2 圆内接四边形的运用】 【例2】（2023春·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，在中，．是的外接圆，为弧的中点，为延长线上一点．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式2-1】（2023春·陕西西安·九年级高新一中校考期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，若连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023春·浙江·九年级期中）如图，的内接四边形两组对边的延长线分别交于点E、F，若，，且，则 （用含有的代数式表示）． 【变式2-3】（2023春·辽宁大连·九年级统考期末）如图，以的边为直径作交于且，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【题型3 利用圆的有关性质求值】 【例3】（2023春·四川德阳·九年级四川省德阳中学校校考期中）如图，在中，，过，两点的交于点，交于点，连接并延长交于点．连接，，若，，，则的值为（    ）． A． B． C． D．3 【变式3-1】（2023春·湖南长沙·九年级统考期末）如图，中，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式3-2】（2023春·山东滨州·九年级统考期中）如图，为的外接圆，，垂足为点D，直径平分，交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【变式3-3】（2023春·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如图1，四边形内接于，E为延长线上一点，平分.    (1)求证：； (2)若为等边三角形，则 度；（直接写答案） (3)如图2，若为直径，过A点作于E，且，求的半径. 【题型4 利用圆的有关性质进行证明】 【例4】（2023春·广东广州·九年级广东广雅中学校考期末）如图，是的外角的角平分线，与的外接圆交于点D，． (1)求所对圆心角的度数； (2)连，求证：； (3)探究线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【变式4-1】（2023春·浙江金华·九年级校考期中）如图，已知圆的直径垂直于弦于点，连接并延长交于点，且．证明：是的中点．    【变式4-2】（2023春·山西长治·九年级统考期末）阅读材料，解答问题： 关于圆的引理 古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种，下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题： 如图1，是的弦，点在上，于点，在弦上取点，使，点是上的一点，且，连接，则． 小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程： 证明：如图2，连接，，，， 于点，， ． ． ， （依据），． 四边形内接于， ．（依据） (1)上述证明过程中的依据1为 　　 ，依据2为 　 ； (2)将上述证明过程补充完整． 【变式4-3】（2023春·江苏泰州·九年级校考期末）已知为的外接圆，． (1)