主题三 第六章 第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮课时作业（新教材，湘教版）

第3节　平面向量的数量积及平面向量的应用 1.已知|a|=2,向量a在向量b上的投影向量与b反向,且投影长为,则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 2.向量a=(1,2),b=(x,1).若(a+b)⊥(a-b),则x等于(　　) A.-2 B.± C.±2 D.2 3.已知a,b是相互垂直的单位向量,与a,b共面的向量c满足a·c= b·c=2,则c的模为(　　) A.1 B. C.2 D.2 4.在四边形ABCD中,=,且·=0,则四边形ABCD是(　　) A.矩形 B.菱形 C.直角梯形 D.等腰梯形 5.(多选题)如图,点A,B在圆C上,则·的值(　　) A.与圆C的半径有关 B.与圆C的半径无关 C.与弦AB的长度有关 D.与弦AB的长度无关 6.已知梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,且∠DAB=90°,AB=2,AD=1,若点Q满足=2,则·等于(　　) A.- B. C.- D. 7.已知向量a,b均为单位向量,若它们的夹角是60°,则|a-3b|等于　　　. 8.(2022·全国甲卷)设向量a,b的夹角的余弦值为,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=　 . 9.在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则·=　　　　.  10.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O为坐标原点,动点P满足=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)·],λ∈R,则点P的轨迹一定经过(　　) A.△ABC的内心 B.△ABC的垂心 C.△ABC的重心 D.△ABC的外心 11.已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是(　　) A.1 B.2 C. D. 12.(2022·山东济南二模)如图,△ABC是边长为3的等边三角形,D在线段BC上,且=2,E为线段AD上一点,若△ABE与△ACD的面积相等,则·的值为(　　) A. B.- C. D.- 13.已知平面向量a=(,),则与a夹角为45°的一个非零向量b的坐标可以为　　　　.(写出满足条件的一个向量即可)  14.如图所示,一个物体被两根轻质细绳拉住,且处于平衡状态,已知两条绳上的拉力分别是F1,F2,且F1,F2与水平线夹角均为45°,|F1|= |F2|=10 N,则物体的重力大小为　　　　 N.  15.已知向量a,b,c满足|a|=4,|b|=2,<a,b>=,(c-a)·(c-b)=-1,则|c-a|的最大值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3节　平面向量的数量积 及平面向量的应用 1.D　设a与b的夹角为α(<α≤π),则a在向量b上的投影长为|a||cos α|=-2cos α=, 所以cos α=-,所以α=. 2.C　法一　a+b=(1+x,3),a-b=(1-x,1), 因为(a+b)⊥(a-b),所以(a+b)·(a-b)=0, 即(1+x)(1-x)+3=0,解得x=±2. 法二　因为(a+b)⊥(a-b),所以(a+b)·(a-b)=0,所以a2-b2=0,所以|a|=|b|,所以x=±2. 3.D　由题意知a,b是相互垂直的单位向量,不妨设a=(1,0),b= (0,1),设c=(x,y),由a·c=b·c=2,可得x=y=2,即c=(2,2),则|c|==2. 4.B　由=知四边形ABCD为平行四边形, 又因为·=0,即▱ABCD的两条对角线互相垂直,所以四边形ABCD为菱形. 5.BC　 如图,连接AB,过C作CD⊥AB交AB于D,则D是AB的中点,故·=||·||·cos∠CAD=||·||·=,故·的值与圆C的半径无关,只与弦AB的长度有关. 6.D　 以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则B(2,0),C(1,1),D(0,1). 又=2,所以Q(,0), 所以=(-,1), =(-,1), 所以·=+1=. 7.解析:|a-3b|===. 答案: 8.解析: (2a+b)·b=2a·b+b2=2|a|·|b|·cos<a,b>+|b|2=2×1×3×+32=11. 答案:11 9.解析:如图所示,由极化恒等式, 易得·=-=32-52=-16. 答案:-16 10.C　取AB的中点D(图略),则2=+,因为=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],所以=[2(1-λ)+(1+2λ)]=+,而+=1, 所以P,C,D三点共线,所以点P的轨迹一定经过△ABC的重心. 11.C　 如图所示,设⊥,记=a,=b,=c,M为AB的中点,由极化恒等式有(a-c)·(b-c)=·=||2-=0,所以||2==,可知是有固定起点,固定模长的动向量