主题三 第八章 第9节 直线与圆锥曲线中的最值与范围问题-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮课时作业（新教材，湘教版）

第9节　直线与圆锥曲线中的最值与范围问题 1.(2022·江苏盐城三模)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)过点(2,1),渐近线方程为y=±x,直线l是双曲线C右支的一条切线,且与C的渐近线交于A,B两点. (1)求双曲线C的方程; (2)设点A,B的中点为M,求点M到y轴的距离的最小值. 2.平面直角坐标系中,O为坐标原点,给定两点A(1,0),B(0,-2),直线x+y=1与双曲线-=1(a>0,b>0,a≠b)交于M,N两点,且以MN为直径的圆过原点,若双曲线的离心率不大于,求双曲线实轴长的取值 范围. 3.(2022·青海西宁一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为e=,点(-,1)在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程; (2)过椭圆内一点P(0,t)的直线l的斜率为k,且与椭圆C交于M,N两点,设直线OM,ON(O为坐标原点)的斜率分别为k1,k2,若对任意k,存在实数λ,使得k1+k2=λk,求实数λ的取值范围. 4.(2021·全国乙卷)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2. (1)求抛物线C的方程; (2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足=9,求直线OQ斜率的最大值. 5.已知双曲线C的两焦点在坐标轴上,且关于原点对称.若双曲线C的实轴长为2,焦距为2,且点P(0,-1)到渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程; (2)若过点P的直线l分别交双曲线C的左、右两支于点A,B,交双曲线C的两条渐近线于点D,E(D在y轴左侧).记△ODE和△OAB的面积分别为S1,S2,求的取值范围. 6.(2022·山东潍坊三模)已知O为坐标原点,定点F(1,0),M是圆O:x2+y2=4内一动点,圆O与以线段FM为直径的圆内切. (1)求动点M的轨迹方程; (2)若直线l与动点M的轨迹交于P,Q两点,以坐标原点O为圆心,1为半径的圆与直线l相切,求△POQ面积的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9节　直线与圆锥曲线中的 最值与范围问题 1.解:(1)由题意可知解得 所以双曲线C的方程为-y2=1. (2)当直线l斜率不存在时,易知点M到y轴的距离为2; 当直线l斜率存在时,设l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),联立 消去y,得(4k2-1)x2+8kmx+4m2+4=0, 依题意Δ=64k2m2-16(4k2-1)(m2+1)=0,且4k2-1≠0,整理得m2=4k2-1(k≠±), 且-=->0,则km<0. 联立得 则x1+x2=-==-, 则xM==-,==4+>4, 则此时点M到y轴的距离大于2. 综上所述,点M到y轴的最小距离为2. 2.解:由消去y并整理, 得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0(a≠b), 则Δ=4a4+4(b2-a2)(a2+a2b2)= 4a2b2(b2+1-a2)>0,设M(x1,y1),N(x2,y2), 则x1+x2=,x1x2=, 因为以MN为直径的圆过原点, 所以·=x1x2+y1y2=0, 于是x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1=-+1=+1=0, 从而有b2=,0<a2<,而离心率e≤,即e2==1+≤3, 整理得0<a2≤,此时Δ>0,因此0<a≤, 则0<2a≤1. 所以双曲线实轴长的取值范围为(0,1]. 3.解:(1)椭圆C的离心率e==, 所以a=b, 又点(-,1)在椭圆上,所以+=1, 解得a=2,b=, 所以椭圆C的方程为+=1. (2)设直线l的方程为y=kx+t. 由 消去y,得(2k2+1)x2+4ktx+2t2-4=0. 设M(x1,y1),N(x2,y2), 则x1+x2=,x1x2=, 而k1+k2=+=+=2k+=. 由k1+k2=λk,得=λk,因为此等式对任意的k都成立,所以=λ,即t2=2-. 由题意得点P(0,t)在椭圆内,故0≤t2<2, 即0≤2-<2,解得λ≥2, 所以实数λ的取值范围为[2,+∞). 4.解:(1)由抛物线的定义可知,焦点F到准线的距离为p,故p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x. (2)由(1)知F(1,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2), 则=(x2-x1,y2-y1),=(1-x2,-y2), 因为=9,所以 可得 又点P在抛物线C上, 所以=4x1,即(10y2)2=4(10x2-9), 化简得=x2-, 则点Q的轨迹方程为y2=x-. 设直线OQ的方程为y=kx, 易知当直线OQ与曲线y2=x-相切时,斜率可以取最大, 联立y=kx与y2=x-并化简, 得k2x2-x+=0, 令Δ=(-)2-4k2·=0,解得k=±, 所以直线OQ斜率的最大值为. 5.解:(1)由2a=2,2c=2