主题三 第八章 第8节 直线与圆锥曲线中的定点与定值问题-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮课时作业（新教材，湘教版）

第8节　直线与圆锥曲线中的定点与定值问题 1.已知点M在抛物线C1:x2=12y的准线l1上,动点A在C1上,C1在点A处的切线l2交y轴于点B,设=+,求证:点N在定直线上,并求该定直线的方程. 2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,直线x=1被椭圆截得的弦长为. (1)求椭圆的标准方程; (2)设直线y=kx+m交椭圆C于A,B两点,且线段AB的中点M在直线x=1上,求证:线段AB的中垂线恒过定点. 3.已知椭圆C1:+=1(a>),C1的左、右焦点F1,F2是双曲线C2的左、右顶点,C1的离心率为,C2的离心率为,点E在C2上,过点E和F1,F2分别作直线交椭圆C1于点F,G和点M,N,如图所示. (1)求C1,C2的方程; (2)求证:直线EF1和EF2的斜率之积为定值; (3)求证:+为定值. 4.已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F2,点F2到E的一条渐近线的距离为,过点F2的直线与E相交于A,B两点.当AB⊥x轴时,|AB|=2. (1)求双曲线E的方程; (2)若M(,0),N是直线x=1上一点,当B,M,N三点共线时,判断直线AN的斜率是否为定值.若是定值,求出该值;若不是定值,说明理由. 5.已知双曲线方程为-=1,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,离心率为2,点P为双曲线在第一象限上的一点,且满足·=0,|PF1| |PF2|=6. (1)求双曲线的标准方程; (2)过点F2作直线l交双曲线于A,B两点,则在x轴上是否存在定点Q(m,0)使得·为定值?若存在,请求出m的值和该定值;若不存在,请说明理由. 6.(2022·江苏南京模拟)已知椭圆C:+=1(a>0,b>0)的离心率为,且经过M(1,),经过定点T(1,0)斜率不为0的直线l交C于E,F两点,A,B分别为椭圆C的左、右顶点. (1)求椭圆C的方程; (2)设直线AE与BF的斜率分别为k1,k2,求的值; (3)设直线AE与BF的交点为P,求证:点P在一条定直线上. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8节　直线与圆锥曲线中的 定点与定值问题 1.解:抛物线x2=12y的准线l1的方程为y=-3, 依题意设M(m,-3). 抛物线C1的方程可化为y=,所以y′=,设A(x1,y1),则以A为切点的切线l2的斜率k=, 所以切线l2的方程为y=x1(x-x1)+y1. 令x=0,得y=-+y1=-×12y1+y1=-y1,即点B坐标为(0,-y1), 所以=(x1-m,y1+3),=(-m,-y1+3), 所以=+=(x1-2m,6), 所以=+=(x1-m,3). 设点N坐标为(x,y),则y=3, 所以点N在定直线y=3上. 2.(1)解:由直线x=1被椭圆截得的弦长为, 得椭圆过点(1,), 即+=1, 由e===,得a2=4b2, 所以a2=4,b2=1, 即椭圆的标准方程为+y2=1. (2)证明:由 消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 由Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)=-16m2+64k2+16>0,得m2<1+4k2.x1+x2= -. 设AB的中点M为(x0,y0),得x0=-=1, 即1+4k2=-4km, 所以y0=kx0+m==-, 所以AB的中垂线方程为y+=-(x-1), 即y=-(x-), 故AB的中垂线恒过点(,0). 3.(1)解:由题意知,椭圆C1的离心率=, 解得a2=18,所以c2=12, 所以F1(-2,0),F2(2,0). 因为椭圆C1的左、右焦点F1,F2是双曲线C2的左、右顶点,所以设双曲线C2:-=1(n>0), 由C2的离心率=,解得n2=12, 所以椭圆C1的标准方程为+=1, 双曲线C2的标准方程为-=1. (2)证明:因为点E在C2上, 所以设E(x0,y0),则=-12, 所以·==1, 所以直线EF1和EF2的斜率之积为定值1. (3)证明:设直线EF1和EF2的斜率分别为k1,k2, 则k1k2=1. 设F(x1,y1),G(x2,y2), EF1:y=k1(x+2)与C1方程联立,消去y,得 (3+1)x2+12x+18(2-1)=0, x1+x2=-,x1x2=, 则|FG|= =, 同理,|MN|===, 所以+===. 4.解:(1)根据对称性,不妨设F2(c,0)到直线bx+ay=0的距离为, 则==b=, 令x=c,则-=1,解得y=±, 所以当AB⊥x轴时,|AB|==2,则a=. 故双曲线E的方程为-=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2). 当直线AB的斜率不为0时, 设直线AB的方程为x=my+2, 联立得方程组 消去x,得(m2-1)y2+4my+2=0, 由得m≠±1, 则y1+y2