11.1与三角形有关的线段 讲义2023-2024学年人教版八年级数学上册
第一讲 与三角形相关的线段
教学目标：
1.切实掌握三角形的概念，能正确的根据三角形的边和角对三角形进行分类；
2.熟练掌握三角形三边之间的关系，并利用三边关系解决实际问题；
3.掌握三角形的中线、高、角平分线的定义和特征，能够利用它们解决问题；
4.掌握等积法。
教学重点：
1.三角形的分类 2.三角形三边之间的关系.
3.掌握三角形的中线、高、角平分线的定义和特征 4.等积法
教学难点：
- 中线和三角形周长与面积结合的题型的处理策略
- 等积法的掌握和应用。
知识资料
1.三角形的定义：由不在同一直线的三条线段首尾顺次相连组成的图形，叫做三角形。
三角形的表示：记作△ABC
顶点：点A、点B、点C
边：AB、AC、BC或a、b、c
角（内角）：∠A（∠BAC）、∠B（∠ABC）、∠C（∠ACB）
2.三角形的分类：
按角分：
按边分
注意：
①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;
②等边三角形：三边都相等的三角形，三个角都是60°.等边三角形又叫正三角形。
3.三角形的三边关系：
由“两点之间线段最短”可得AB+AC＞BC
同理可得 AB+BC＞AC，BC+AC＞AB，即三角形的两边之和大于第三边。
将不等式移项得AB＞BC-AC ，BC＞AC-AB，AC＞AB-BC即三角形的两边之差小于第三边。
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4.三角形中的三条重要线段：高，中线，角平分线
三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．
数学语言描述：
如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.
注意：
（1）三角形的高是线段；
（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；
①锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；
②钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；
③直角三角形三条高的交点是直角的顶点.
（3）三角形的三条高：
作图：画出下列△ABC中BC、AC边上的高。
三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．
注意:（1）三角形的中线是线段；
(2)三角形三条中线全在三角形内部；
(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；
(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
三角形的角平分线的数学语言：
如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上.
注意：（1）三角形的角平分线是线段；
（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；
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（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；
（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.
5.三角形的稳定性
三角形的三边长一旦确定，三角形的形状就唯一确定，这个性质叫做三角形的稳定性。四边形则不具有稳定性。
例如：钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，伸缩门则是利用四边形的不稳定性。
三角形的周长、面积求法
（1）如图1：C△ABC=AB＋BC＋AC或C△ABC= a＋b＋c。
四个量中已知其中三个能求第四个。
（2）如图2：AD为高，S△ABC =
·BC·AD
三个量中已知其中两个能求第三个。
（3）如图3：△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，则有：
S△ABC =·AB·CD=·AC·BC即：AB·CD=AC·BC
精炼精讲
一、选择题
1.下列长度的三条线段，能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．5，12，17 D．6，8，20
2.下列说法正确的有（ ）
①等腰三角形是等边三角形；
②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；
③等腰三角形至少有两边相等；
④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
A．①② B．①③④ C．③④ D．①②④
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