主题三 第六章 第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（新教材，湘教版）

第3节　平面向量的数量积及平面向量的应用 [课程标准要求] 1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积. 2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 4.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角. 5.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件. 必备知识·课前回顾 回顾教材,夯实四基 1.数量积的定义 (1)设a,b是任意两个向量,<a,b>是它们的夹角,则定义a·b=|a||b|cos<a,b>为a与b的数量积. (2)a·b=0⇔a⊥b. 3.数量积的运算律 设a,b,c是任意向量,λ是任意实数,则如下运算律成立: (1)交换律:a·b=b·a. (2)与数乘的结合律:a·(λb)=λ(a·b). (3)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c. 4.数量积的坐标表示 两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积的坐标表达式为a·b=(x1,y1)·(x2,y2)= x1x2+y1y2. (3)垂直条件 已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0. 1.两个向量a,b的夹角为锐角⇔a·b>0且a,b不共线; 两个向量a,b的夹角为钝角⇔a·b<0且a,b不共线. 2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a+b)·(a-b)=a2-b2. (2)(a+b)2=a2+2a·b+b2. (3)(a-b)2=a2-2a·b+b2. 3.设O为△ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则 CD 1.(多选题)设a,b,c是任意的非零向量,则下列结论正确的是(　 　) A.0·a=0 B.a·b=b·c,则a=c C.a·b=0⇒a⊥b D.(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2 A A.45° B.135° C.-45° D.30° 3.已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,则向量b在向量a上的投影长为　　 　. 解析:由数量积的定义知,b在a上的投影长为|b||cos θ|=4×|cos 120°|=2. 答案:-2 4.(2021·北京卷)已知a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1),则(a+b)·c=　 　　, a·b=　 .  答案:0　3 关键能力·课堂突破 类分考点,落实四翼 平面向量数量积的运算 C 2.(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,则a·b+b·c+ c·a=　　　　.  3.已知向量a,b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,则向量a-b在向量a+b上的投影长是　 .  答案:-1 平面向量数量积的三种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cos<a,b>. (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解. 平面向量数量积的应用 [例1] (1)(2021·全国甲卷)若向量a,b满足|a|=3,|a-b|=5,a·b=1,则|b|=　　　　;  平面向量的模 (2)已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为　　　　.  (2)求向量模的最值(范围)的方法:①代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;②几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解. [例2] (1)已知a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,<a,c>=<b,c>,则t等于(　　) A.-6 B.-5 C.5 D.6 答案:(1)C　 平面向量的夹角 求平面向量的夹角的方法 (3)解三角形法:可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解. 平面向量的垂直问题 [例3] (1)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m等于(　　) A.-8 B.-6 C.6 D.8 解析:(1)由题知a+b=(4,m-2), 因为(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=0, 即4×3+(-2)×(m-2)=0, 解得m=8.故选D. 答案:(1)D (2)(2021·全国乙卷)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ=　 . (1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题 若证明两个向量垂直,先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标;然后根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可. (2)已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的