主题三 第六章 第2节 平面向量基本定理及坐标表示-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（新教材，湘教版）

第2节　平面向量基本定理及坐标表示 [课程标准要求] 1.理解平面向量基本定理及其意义. 2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算. 必备知识·课前回顾 回顾教材,夯实四基 1.平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理:设e1,e2是平面上两个不共线向量,则 ①平面上每个向量v都可以分解为e1,e2的实数倍之和,即v=xe1+ye2,其中x,y是实数. ②实数x,y由v=xe1+ye2唯一决定.也就是: 如果v=xe1+ye2=x′e1+y′e2,则x=x′,y=y′. (2)称不共线向量e1,e2组成平面上的一组基{e1,e2},分解式v=xe1+ye2中的系数x,y组成的有序数组(x,y),称为v在这组基下的坐标.记为v=(x,y). 2.平面向量的正交分解与坐标表示 (1)正交分解:把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫作把向量正交分解. 3.向量线性运算的坐标表示 (1)向量加法、减法运算的坐标表示:两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的和(或差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(或差),即a±b=(x1,y1)±(x2,y2)=(x1±x2, y1±y2). (2)向量数乘的坐标表示:一个实数λ与向量a=(x,y)的积的坐标等于这个数乘以向量相应的坐标,即λa=λ(x,y)=(λx,λy). 1.若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0. B 1.已知a=(3,6),b=(x,y),若a+3b=0,则b等于(　 　) A.(1,2) B.(-1,-2) C.(-1,2) D.(1,-2) B 2.已知平面向量a=(2,-1),b=(1,3),那么|a+b|等于(　 　) 答案:2 4.已知向量a=(x,1),b=(2,x-1),若(2a-b)∥a,则x=　　　　.  解析:2a-b=(2x-2,3-x), 因为(2a-b)∥a, 所以2x-2=x(3-x), 即x2-x-2=0,解得x=2或x=-1. 答案:2或-1 关键能力·课堂突破 类分考点,落实四翼 平面向量基本定理的应用 [例1] (1)如果e1,e2是平面α内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基的是(　　) A.e1与e1+e2 B.e1-2e2与e1+2e2 C.e1+e2与e1-e2 D.e1+3e2与6e2+2e1 答案:(1)D 平面向量基本定理的实质及应用思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减运算或数乘运算. (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基,并运用该基将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决. [针对训练] A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 平面向量的坐标运算 [例2] (1)已知a=(5,-2),b=(-4,-3),若a-2b+3c=0,则c等于(　　) (1)利用向量的坐标运算解题时,首先利用加、减、数乘运算法则进行运算,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,转化为方程(组)进行求解. (2)向量的坐标表示把点与数联系起来,引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化,成为数与形结合的载体,使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算. [针对训练] (1)设向量a=(1,1),b=(3,-2),则3a-2b等于(　　) A.(-3,7) B.(0,7) C.(3,5) D.(-3,5) 解析:(1)因为向量a=(1,1),b=(3,-2),所以3a-2b=3(1,1)-2(3,-2)=(3,3)-(6,-4)=(-3,7).故选A. 答案:(1)A　 (2)已知平行四边形的三个顶点分别是A(4,2),B(5,7),C(-3,4),则第四个顶点D的坐标是　　　　　　　　.  答案:(2)(-4,-1)或(12,5)或(-2,9) 平面向量共线的坐标表示 [例3] (1)(2021·全国乙卷)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ= 　　　　;  (2)已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),O为坐标原点,则AC与OB的交点P的坐标为 　　　　.  答案:(2)(3,3) (1)向量共线的两种表示形式 设a=(x1,y1),b=(x2,y2):①a∥b⇒a=λb(b≠0);②a∥b⇔x1y2-x2y1=0.至于使用哪种形式,应视题目的具体条件而定,一般情况涉及坐标的应用②. (2)两向量共线的充要条件的作用 判断两向量是否共线(平行),可解决三点共线的问题;另外,利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组),求出未知数的值. [针对训练] (1)已知向量a=(2,1),b=(x,