主题三 第八章 第7节 抛物线-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（新教材，湘教版）

第7节　抛物线 [课程标准要求] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 2.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用. 必备知识·课前回顾 回顾教材,夯实四基 1.抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离 的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的 ,直线l叫作抛物线的 . 相等 若点F在直线l上,则点的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线. 焦点 准线 2.抛物线的标准方程与几何性质 (1)若抛物线的准线与对称轴的交点为M,则抛物线的顶点为焦点与M的中点. (2)抛物线的焦半径与焦点弦:抛物线上任意一点P(x0,y0)与焦点F的连线段称为焦半径.过抛物线焦点的直线与抛物线相交所形成的线段称为抛物线的焦点弦.求解焦点弦的长度时,常利用抛物线的定义转化为交点到相应的准线的距离. 1.抛物线C:y2=2px(p>0)上一点M(1,y0)到焦点F的距离为3,则p的值为(　 　) A.1 B.2 C.3 D.4 D 2.过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|等于(　 　) A.9 B.8 C.7 D.6 解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1. 根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8. B 解析:因为抛物线方程可以化为x2=4y,所以p=2,焦点到准线的距离为p=2. 答案:2 4.顶点在原点,且过点P(-1,2)的抛物线的标准方程是　　　　.  关键能力·课堂突破 类分考点,落实四翼 抛物线的定义及标准方程 B 2.设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则圆心C的轨迹为(　 　) A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆 解析:由题意知,圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1,即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义可知,所求轨迹是一条抛物线. A 4.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=　　　　.  答案:6 (1)利用抛物线的定义可解决的常见问题 ①轨迹问题:用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线. ②距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,注意在解题中利用两者之间的关系相互转化. (2)求抛物线的标准方程的方法 ①因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量. ②因为未知数只有p,所以只需利用待定系数法确定p的值. 与抛物线有关的最值问题 [例1] (多选题)(2022·福建泉州模拟)已知A(a,0),M(3,-2),点P在抛物线y2=4x上,则下列选项正确的是(　　) A.当a=1时,|PA|最小值为1 B.当a=3时,|PA|的最小值为3 C.当a=1时,|PA|+|PM|的最小值为4 D.当a=3时,|PA|-|PM|的最大值为2 解析:当a=1时,A(1,0)为抛物线的焦点, 设P(x0,y0),x0≥0,则|PA|=x0+1≥1, 故|PA|的最小值为1,A正确; 当a=1时,设抛物线的准线为l:x=-1,如图(1),过点P作PN⊥l于点N, (1)求解抛物线上的点到焦点与到定点(或定直线)距离的和、差最值问题,常利用定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,再结合图形及平面几何的有关性质求解. (2)涉及抛物线上的点的坐标有关的最值问题,可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值求解,但要注意抛物线上的点的坐标的取值范围. 答案:(1)C (2)若B为抛物线y2=x上的动点,点B到直线x-2y+2=0的距离的最小值为　 ,此时点B的坐标为　　　　.  抛物线的几何性质 [例2] (1)已知点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点F,则直线AB的方程是(　　) A.x-p=0 B.4x-3p=0 C.2x-5p=0 D.2x-3p=0 答案:(1)C (2)设点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过抛物线上一点P作其准线的垂线,垂足为Q,已知直线FQ交y轴于点A(0,2),且△PQF的面积为10,则该抛物线的方程为　　　　　　.  答案:(2)y2=4x或y2=16x 涉及抛物线的点构成的具有对称性的几何图形时,要注意借助抛物线的对称性与数形结合思想的应用. [针对训练] (1)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点.抛物线上有M,N