主题二 第三章 第3节 导数与函数的极值、最值-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（新教材，湘教版）

第3节　导数与函数的极值、最值 [课程标准要求] 1.借助函数图象,了解函数在某点取得极值的必要和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值. 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值. 必备知识·课前回顾 回顾教材,夯实四基 1.函数极值的概念 (1)函数的极大值和极大值点. 设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义,x0是区间(a,b)内的一个点,若点x0附近的函数值都小于或等于f(x0)(即f(x)≤f(x0)),就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值,此时x0称为f(x)的一个极大值点. (2)函数的极小值和极小值点. 设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义,x0是区间(a,b)内的一个点,若点x0附近的函数值都大于或等于f(x0)(即f(x)≥f(x0)),就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值,此时x0称为f(x)的一个极小值点. (3)函数的极值和极值点. 极大值和极小值统称为极值,极大值点和极小值点统称为极值点. 2.函数的导数与极值的关系 如果函数曲线在极值点处有切线,则该切线和x轴平行(或重合).换句话说,函数在极值点的导数为0.反过来,导数的零点可能不是函数的极值点. 3.求可导函数极值的步骤 (1)求导数f′(x). (2)求f(x)的驻点,即求方程f′(x)=0的解. (3)对于方程f′(x)=0的每一个解x0,分析f′(x)在x0左右两侧的符号(即讨论f(x)的单调性),确定极值点: ①若f′(x)在x0两侧的符号为“左正右负”,则x0为极大值点;②若f′(x)在x0两侧的符号为“左负右正”,则x0为极小值点. (4)求出各极值点的函数值,就得到函数y=f(x)的全部极值. 4.闭区间上函数的最值 (1)最值. 一般地,如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么该函数在[a,b]上必有最大值和最小值. (2)求函数最值的步骤. ①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值; ②求函数y=f(x)在端点处的函数值f(a),f(b); ③将函数y=f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大者是最大值,最小者是最小值. 1.(多选题)已知函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,则下列判断正确的是(　 　) A.f(x)在x=-4时取极小值 B.f(x)在x=-2时取极大值 C.1.5是f(x)的极小值点 D.3是f(x)的极小值点 解析:由导函数f′(x)的图象可得,当x=-4时,其左边的导数小于零,右边的导数大于零,所以f(x)在x=-4时取极小值,所以A正确;当x=1.5时,其左边的导数小于零,右边的导数大于零,所以1.5是f(x)的极小值点,所以C正确;而x=-2和x=3,左右两边的导数值同号,所以-2和3不是函数的极值点,所以B,D错误. AC B BC 答案:0 关键能力·课堂突破 类分考点,落实四翼 利用导数研究函数的极值 根据函数图象判断函数极值 解析:根据导函数图象可知,在区间(-∞,0)上,f′(x)<0,f(x)单调递减,在区间(0,+∞)上,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=0处取得极小值,没有极大值. 所以A,B,D选项正确,C选项错误.故选ABD. 由图象判断函数y=f(x)的极值,要抓住两点:(1)由y=f′(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点;(2)由导函数y=f′(x)的图象可以看出y=f′(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点. 求函数的极值 [例2] (2022·北京模拟)已知函数f(x)=ex-ax-1. (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; 解:(1)f′(x)=ex-a,所以k=f′(0)=1-a, f(0)=0,所以切点为(0,0), 所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=(1-a)x. [例2] (2022·北京模拟)已知函数f(x)=ex-ax-1. (2)求函数f(x)的极值. 解:(2)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=ex-a, 当a≤0时,f′(x)=ex-a≥0对x∈R恒成立, f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,无极值; 当a>0时,令f′(x)=0,所以ex=a,x=ln a, x (-∞,ln a) ln a (ln a,+∞) f′(x) - 0 + f(x) ↘ 极小值 ↗ f(x)在x=ln a处取得极小值f(ln a)=a-aln a-1,无极大值. 运用导数求函数f(x)极值的一般步骤 (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求导数f′(x); (3)解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根; (4)列表检验f′(x)