主题二 第二章 第2节 函数的单调性与最值-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（新教材，湘教版）

第2节　函数的单调性与最值 [课程标准要求] 1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值. 2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义. 必备知识·课前回顾 回顾教材,夯实四基 1.函数的单调性 以下设D是函数f(x)的定义域,I是D的一个非空的子集.如不加说明,我们认为I是个区间. 如果对于I上任意两个值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),就称f(x)是区间I上的增函 数,也称f(x)在区间I上单调递增,如图(1). 如果对于I上任意两个值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),就称f(x)是区间I上的减函 数,也称f(x)在区间I上单调递减,如图(2). 如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有 (严格的)单调性,区间I叫作y=f(x)的单调区间. 函数单调性定义中的x1,x2具有以下三个特征:一是任意性,即“任意两数x1,x2∈I”,“任意”两字绝不能丢;二是有大小,即x1<x2;三是同属一个单调区间,三者缺一不可. 若函数在两个不同的区间上单调性相同,一般要分开写,用“,”或“和”连接,不要用“∪”. 2.函数的最值 如果有a∈D,使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立,就说f(x)在x=a处取到最大值M=f(a),称M为f(x)的最大值,a为f(x)的最大值点. 如果有b∈D,使得不等式f(x)≥f(b)对一切x∈D成立,就说f(x)在x=b处取到最小值m=f(b),称m为f(x)的最小值,b为f(x)的最小值点. 最大值和最小值统称为最值. (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值. 3.与函数运算有关的单调性结论 (1)函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性. (2)k>0时,函数f(x)与kf(x)单调性相同;k<0时,函数f(x)与kf(x)单调性相反. (4)若f(x),g(x)都是增(减)函数,则当两者都恒大于零时,f(x)·g(x)是增 (减)函数;当两者都恒小于零时,f(x)·g(x)是减(增)函数. (5)在公共定义域内,增+增=增,减+减=减. (6)复合函数单调性的判断方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”. D 解析:因为f(x)是R上的减函数,且f(a2-a)<f(a),所以a2-a>a,所以a2-2a>0,所以a>2或a<0.故选B. 2.若函数f(x)是R上的减函数,且f(a2-a)<f(a),则a的取值范围是(　 　) A.(0,2) B.(-∞,0)∪(2,+∞) C.(-∞,0) D.(2,+∞) B BD 答案:9 答案:(-∞,-1) 关键能力·课堂突破 类分考点,落实四翼 确定函数的单调性(区间) D 解析:y=-sin x和y=x2-2x+3在(0,+∞)上不具备单调性;y=ln(x+1)在(0,+∞)上单调递增. 2.函数f(x)=ln(-x2+2x+3)的单调递减区间为(　 　) A.[1,+∞) B.(-∞,1] C.(-1,1) D.(1,3) 解析:设t=-x2+2x+3,由-x2+2x+3>0可得-1<x<3,则y=ln t, 由于y=ln t在t∈(0,+∞)上单调递增,由复合函数的单调性:同增异减,可得要求函数f(x)=ln(-x2+2x+3)的单调递减区间, 只需求t=-x2+2x+3(-1<x<3)的单调递减区间.而t=-x2+2x+3在(1,3)上单调 递减. D D AC (1)求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间. (2)函数单调性的判断方法:定义法,图象法,利用已知函数的单调性,导数法. (3)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则. 函数单调性的应用 利用单调性比较大小 利用单调性比较函数值大小时,应根据函数的性质(如对称性等)将自变量转化到函数的同一个单调区间上,利用单调性比较大小. 利用函数的单调性解不等式 解决与抽象函数有关的变量的取值范围问题的关键是利用函数的单调性“脱去”函数符号“f”,从而转化为关于自变量的不等式,常见的转化方法为:若函数y=f(x)在区间I上是增函数,对任意x1,x2∈I,且f(x1)<f(x2),则有x1<x2;若函数y=f(x)在区间I上是减函数,对任意x1,x2∈I,且f(x1)<f(x2),则有x1>x2.但需要注意的是不要忘记函数