主题四 第十章 第5节 离散型随机变量的数字特征-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（新教材，湘教版）

第5节　离散型随机变量的数字特征 [课程标准要求] 1.了解离散型随机变量的概念. 2.理解离散型随机变量的分布列及其均值、方差的概念. 3.能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题. 必备知识·课前回顾 回顾教材,夯实四基 1.离散型随机变量 如果随机试验每一个可能结果e,都唯一地对应着一个实数X(e),则这个随着试验结果不同而变化的变量称为随机变量.如果随机变量X的所有取值都可以逐个列举出来,则称X为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 (1)离散型随机变量的分布列的概念. 一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,其相应的概率为p1,p2,…,pn,记 P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n).(*) 或把(*)式列成下表: X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 上表或(*)式称为离散型随机变量X的概率分布列(简称为X的分布列). 则称E(X)= 为随机变量X的均值或期望. (2)性质:若Y=aX+b,a,b是常数,则E(aX+b)= . (2)离散型随机变量的分布列的性质. ①pi≥0,i=1,2,3,…,n; ②p1+p2+…+pn=1. 3.离散型随机变量的均值或数学期望 (1)定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为 x1p1+x2p2+…+xnpn X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn aE(X)+b 4.离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义:设离散型随机变量X的分布列为 (2)性质:若Y=aX+b,a,b是常数,则D(aX+b)=a2D(X). X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 标准差 1.若X是随机变量,Y=aX+b,a,b是常数,则Y也是随机变量. 2.E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数. 3.方差与均值的关系:D(X)=E(X2)-(E(X))2. D 1.抛掷两枚骰子,所得点数之和为X,那么X=4表示的试验结果为(　 　) A.一枚1点、一枚3点 B.两枚都是4点 C.两枚都是2点 D.一枚1点、一枚3点,或者两枚都是2点 解析:抛掷两枚骰子,所得点数之和记为X,则X=4表示的随机试验结果是一枚是1点,一枚是3点或者两枚都是2点. 2.(2022·广西桂林模拟)随机变量X的分布列如表所示, C 3.已知随机变量X的分布列为 设Y=2X+1,则E(Y)=　　　　.  4.篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是:命中得1分,不中得0分.已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.9,设其罚球一次的得分为X,则X的方差D(X)= 　　　　.  解析:由题意知,随机变量X的可能取值为0,1. 因为P(X=1)=0.9, P(X=0)=1-0.9=0.1, 所以E(X)=1×0.9+0×0.1=0.9, D(X)=(1-0.9)2×0.9+(0-0.9)2×0.1=0.09. 答案:0.09 关键能力·课堂突破 类分考点,落实四翼 离散型随机变量的分布列性质及简单应用 1.设X是一个离散型随机变量,其分布列为 A X 0 1 P 9a2-a 3-8a 2.已知m,n∈(0,1),离散型随机变量X的分布列如表所示, C 3.已知随机变量X的分布列如下表,D(X)表示X的方差,则D(2X+1)=　　　　.  答案:2 应用离散型随机变量的分布列性质解题的方法 (1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值. (2)利用“离散型随机变量在某范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. (3)利用分布列结合均值与方差计算公式可直接求随机变量的均值与方差. 离散型随机变量的分布列及数字特征 [例1] (2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立. (1)求甲学校获得冠军的概率; 解:(1)设甲学校获得冠军的事件为A,则甲学校必须获胜2场或者3场. P(A)=0.5×0.4×0.8+(1-0.5)×0.4×0.8+0.5×(1-0.4)×0.8+0.5×0.4× (1-0.8)=0.6. 故甲学校获得冠军的概率为0.6. [例1] (2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立. (2)用X表示乙学校