主题三 第七章 第6节 利用空间向量求空间角-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，湘教版）

第6节　利用空间向量求空间角 [课程标准要求] 能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量法在研究空间角问题中的 作用. 1.两异面直线的夹角 设两条异面直线a与b所成的角为θ(θ∈(0,]),它们的方向向量分别是v1,v2,设v1与v2的夹角为.根据异面直线所成角的定义,可知θ与的关系是 θ= 对于上述两种情况,均有cos θ=|cos |=|cos <v1,v2>|=. 2.直线与平面所成的角 (1)直线与平面所成角的定义. 若直线l与平面α垂直,则直线l与平面α所成的角θ=,即为直角. 设直线l与平面α不垂直,直线l与该直线在平面α内的投影l′所成的角θ就是直线l与平面α所成的角,其取值范围为[0,). (2)线面角的计算方法. 当直线l与平面α相交且不垂直时,设它们所成的角为θ,v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,v与n的夹角为,那么θ与有如下关系: θ= 当l∥α或l⊂α时,θ=0, =; 当l⊥α时,θ=, =0或π. 对于上述情况,均有sin θ=|cos |=|cos <v,n>|=. 3.两个平面所成的角 (1)两个平面所成角的定义. 两个平面相交会形成四个二面角,一般规定较小的二面角为两平面所成的角,由此可知两个平面所成角的取值范围为[0,],当两个平面平行时,它们所成的角为0°. (2)两个平面所成角的计算方法. 设两个平面α1和α2所成的角为θ,平面α1,α2的法向量分别为n1和n2,记<n1,n2>=,如图,则θ与有如下关系:θ= 对于上述两种情况,均有cos θ=|cos |=|cos<n1,n2>|. 1.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos<m,n>=-,则l与α所成的角为(　A　) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析:由于cos<m,n>=-, 所以<m,n>=120°, 所以直线l与α所成的角为30°. 2.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为(　C　) A. B. C.或 D.或 解析:因为m=(0,1,0),n=(0,1,1), 所以m·n=1,|m|=1,|n|=, 所以cos<m,n>==, 所以<m,n>=, 所以两平面所成的二面角为或. 3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则直线AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为(　C　) A. B. C. D. 解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=2, 则C1(,1,0), A(0,0,2),=(,1,-2),平面BB1C1C的一个法向量为n=(1,0,0). 所以直线AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为 ==. 4.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,=(λ>0),若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为,则λ的值为　　　　.  解析:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(图略),由正方体的棱长为2, 则A1(2,0,2),D1(0,0,2),E(0,2,1),A(2,0,0), 所以=(0,2,-1),=+=+λ=(-2λ,0,-2).所以|cos<,>|===, 解得λ=(λ=-舍去). 答案: 用空间向量求异面直线所成的角 [例1] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,E为PD的中点,O为AC的中点,AD=2AB=2AP=2. (1)证明:OE∥平面PAB; (2)求异面直线PC与OE所成角的余弦值. (1)证明:连接BD,则O为BD的中点, 又E为PD的中点,所以OE∥PB. 因为PB⊂平面PAB,OE⊄平面PAB, 所以OE∥平面PAB. (2)解:以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(1,2,0),D(0,2,0),E(0,1,),O(,1,0),所以=(1,2,-1), =(-,0,),因为cos<,>===-,所以异面直线PC与OE所成角的余弦值为. 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 (1)选择三条两两相互垂直的直线建立空间直角坐标系. (2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量. (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值. (4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值. [针对训练] 如图,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA=,则异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为　　　　.  解析:建立如图所示的空间直角坐标系, 则O1(0,1,),A(,0