主题三 第七章 第5节 空间向量及空间位置关系-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，湘教版）

第5节　空间向量及空间位置关系 [课程标准要求] 1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能判断向量的共线和垂直. 3.理解直线的方向向量及平面的法向量,能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理. 1.空间向量及其有关概念 (1)空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 长度为0的向量 0 单位向量 长度为1的向量 — 相等向量 方向相同且长度相等的向量 a=b 相反向量 方向相反且长度相等的向量 a的相反向量-a 共线向量 对于空间任意两个向量a,b(a≠0),若b=λa,其中λ为实数,则b与a共线或平行 a∥b 共面向量 能平移到同一个平面内的向量 — (2)空间向量中的有关结论 ①如果两个向量e1,e2不共线,那么向量p与向量e1,e2共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xe1+ye2. ②空间向量基本定理:设e1,e2,e3是空间中三个不共面向量,则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和:p=xe1+ye2+ze3, 上述表达式中的系数x,y,z由p唯一确定,即 若p=xe1+ye2+ze3=x′e1+y′e2+z′e3,则x=x′,y=y′,z=z′. 我们把{e1,e2,e3}称为空间的一组基,e1,e2,e3叫作基向量.(x,y,z)称为向量p=xe1+ye2+ze3在基{e1,e2,e3}下的坐标. 2.空间向量的数量积及坐标运算 (1)两个非零空间向量的数量积 ①a·b=|a||b|cos<a,b>; ②a⊥b⇔a·b=0; ③设a=(x,y,z),则a2=|a|2,|a|=. (2)空间向量的坐标运算 a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2) 向量和 a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2) 向量差 a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2) 数量积 a·b=x1x2+y1y2+z1z2 共线 a∥b⇒x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R,b≠0) 垂直 a⊥b⇔x1x2+y1y2+z1z2=0 夹角 公式 cos<a,b>= 3.空间位置关系的向量表示 (1)直线的方向向量:如果非零向量v与直线l平行,就称v为l的方向向量. (2)平面的法向量:如果非零向量n所在的直线与平面α垂直,就称n为平面α的法向量. (3)空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1,l2的方向向量分别为v1,v2 l1∥l2 v1∥v2⇔v1= kv2(k∈R) l1⊥l2 v1⊥v2⇔v1·v2=0 直线l的方向向量为v,平面α的法向量为n,l⊄α l∥α v⊥n⇔v·n=0 l⊥α v∥n⇔v=kn(k∈R) 平面α1,α2的法向量分别为n1,n2 α1∥α2 n1∥n2⇔n1=kn2 (k∈R) α1⊥α2 n1⊥n2⇔n1·n2=0 1.空间向量基本定理的三点注意 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基. (2)由于0与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,故0不能作为基向量. (3)基选定后,空间的所有向量均可由基唯一表示. 2.证明空间任意三点共线的方法 对空间三点P,A,B可通过证明下列结论成立来证明三点共线: (1)=λ(λ∈R). (2)对空间任一点O,=+t(t∈R). (3)对空间任一点O,=x+y(x+y=1). 3.证明空间四点共面的方法 对空间四点P,M,A,B除空间向量基本定理外,也可通过证明下列结论成立来证明四点共面: (1)=x+y(x,y∈R). (2)对空间任一点O,=+x+y(x,y∈R). 1.若{a,b,c}为空间的一组基,则下列各项中能构成空间的基的一组向量是(　C　) A.{a,a+b,a-b} B.{b,a+b,a-b} C.{c,a+b,a-b} D.{a+b,a-b,a+2b} 解析:对于A,因为(a+b)+(a-b)=2a, 所以a,a+b,a-b共面,不能构成基,排除A; 对于B,因为(a+b)-(a-b)=2b, 所以b,a+b,a-b共面,不能构成基,排除B; 对于D,a+2b=(a+b)-(a-b), 所以a+b,a-b,a+2b共面,不能构成基,排除D; 对于C,若c,a+b,a-b共面, 则c=λ(a+b)+μ(a-b)=(λ+μ)a+(λ-μ)b(λ,μ∈R),则a,b,c共面,与{a,b,c}为空间的一组基相矛盾,故c,a+b,a-b可以构成空间的一组基. 2.已知三棱锥O-ABC,点M,N分别为