主题三 第七章 第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，湘教版）

第2节　空间点、直线、平面之间的位置关系 [课程标准要求] 1.借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上,抽象出空间线、面位置关系的定义. 2.了解可以作为推理依据的基本事实和定理. 3.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题. 1.四个基本事实 基本事实1:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内. 基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行. 2.用集合语言描述点、线、面间的位置关系 (1)点与直线的位置关系 点A在直线l上,记作 A∈l;点B不在直线l上,记作B∉l. (2)点与平面的位置关系 点A在平面α内,记作 A∈α;点B不在平面α内,记作 B∉α. (3)直线与平面的位置关系 直线a在平面α内,记作a⊂α;直线b不在平面α内,记作 b⊄α. (4)直线a,b相交于点P,记作 a∩b=P. (5)直线AB与平面α相交于点C,记作 AB∩α=C. (6)平面α与平面β相交于直线CD,记作 α∩β=CD. 3.空间中两直线的位置关系 (1)空间中两直线的位置关系 (2)异面直线所成的角 ①定义:对于异面直线a和b,在空间任取一点P,过P分别作a和b的平行线a′和b′,我们把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a与b所成的角. ②范围:(0°,90°]. (3)等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 位置 关系 图形语言 符号语言 公共点 情况 直 线 与 平 面 相交 a∩α=A 有且只 有一个 公共点 平行 a∥α 没有 公共点 在平 面内 a⊂α 直线上 所有的 点都是 公共点 平 面 与 平 面 平行 α∥β 没有 公共点 相交 α∩β=a 有一条 公共 直线 1.“点在直线a上,但不在平面α内”,用数学符号表示正确的是(　A　) A.A∈a且A∉α B.A∈a且A⊄α C.A⊂a且A∉α D.A⊄a且A∈α 解析:“点在直线a上,但不在平面α内”的符号语言为A∈a且A∉α. 2.(多选题)下列叙述正确的是(　ABD　) A.若P∈(α∩β),且α∩β=l,则P∈l B.若直线a∩b=A,则直线a与b能确定一个平面 C.三点A,B,C确定一个平面 D.若A∈l,B∈l且A∈α,B∈α,则l⊂α 解析:点P是两平面的公共点,当然在交线上,故A正确;两相交直线确定一个平面,故B正确;只有不共线的三点才能确定一个平面,故C错误;直线上有两点在一个平面内,则整条直线都在平面内. 3.(2022·重庆月考)如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过(　D　) A.点A B.点B C.点C但不过点M D.点C和点M 解析:因为AB⊂γ,M∈AB,所以M∈γ.又α∩β=l,M∈l,所以M∈β.根据基本事实3可知,M在γ与β的交线上.同理可知,点C也在γ与β的交线上. 4.已知下列说法: ①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b; ②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线; ③若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定不相交; ④若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面; ⑤若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交. 其中正确的是　　　　(将你认为正确的序号都填上).  解析:①错误.a与b也可能异面. ②错误.a与b也可能平行. ③正确.因为α∥β,所以α与β无公共点. 又因为a⊂α,b⊂β,所以a与b无公共点. ④正确.由已知及③知,a与b无公共点,那么a∥b或a与b异面. ⑤错误.a与β也可能平行. 答案:③④ 　平面的基本性质及应用 1.(多选题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是(　ABC　) A.C1,M,O三点共线 B.C1,M,O,C四点共面 C.C1,O,A,M四点共面 D.D1,D,O,M四点共面 解析:连接AC,A1C1(图略),由题意知点O为BD,AC的交点,且平面C1BD∩平面A1ACC1=C1O,因为直线A1C交平面C1BD于点M, 所以点M∈直线C1O, 所以C1,M,O三点共线,故选项A正确; 因为C1,M,O三点共线,所以C1,M,O,C四点共面,故B正确; 因为C1,M,O三点共线,所以C1,M,O,A四点共面,故C正确; 因为直线O