主题三 第六章 第6节 复 数-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，湘教版）

第6节　复　数 [课程标准要求] 1.在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的 矛盾. 2.理解复数的基本概念以及复数相等的定义. 3.了解复数的代数表示法及其几何意义. 4.能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 1.复数的有关概念 (1)复数的定义 把形如a+bi(a,b∈R)的数称为复数,其中i叫作虚数单位.全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫作复数集.实部是a,虚部是b. (2)复数的分类 复数z=a+bi(a,b∈R) (3)复数相等 a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).特别地,a+bi=0⇔a=0且b=0. (4)共轭复数 ①对任意复数z=a+bi(a,b∈R),如果保持它的实部a不变,将虚部b变成它的相反数-b,得到的复数a-bi称为原复数z的共轭复数,记为,即 =a-bi. ②||=|z|. (5)复数的模 对任意复数z=a+bi(a,b∈R),将它在复平面上所对应的向量的模称为复数z的模,也称为z的绝对值,记作|z|,即|z|=|a+bi|=. 2.复数的几何意义 (1)每一个复数都由它的实部和虚部唯一确定,当把实部和虚部作为一个有序实数对时,就和点的坐标一样,从而可以用点表示复数,因此复数与复平面内的点是一一对应关系. (2)若复数z=a+bi(a,b∈R),则其对应的点的坐标是(a,b). (3)复数与复平面内以原点为始点的向量也可以建立一一对应关系. 如图,在复平面内,复数z=a+bi(a,b∈R)可以用点Z(a,b)或向量表示. 3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; ③乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i; ④除法:===+i(c+di≠0). (2)复数运算定律 ①复数的加法满足交换律、结合律,即对任意的复数z1,z2,z3,有z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). ②复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律,即对任何复数z1,z2,z3,有z1·z2=z2·z1,(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. ③复数的乘方运算是指几个相同复数相乘.在复数集中,实数集中的正整数指数幂运算律仍然成立,即对任何复数z,z1,z2及正整数m,n,有zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1·z2)n=·. 1.(1±i)2=±2i;=i;=-i. 2.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈Z). 3.z·=|z|2=||2,|z1·z2|=|z1|·|z2|, ||=,|zn|=|z|n. 1.(2022·新高考Ⅱ卷)(2+2i)(1-2i)等于(　D　) A.-2+4i B.-2-4i C.6+2i D.6-2i 解析:(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i+4=6-2i. 2.(2022·全国乙卷)已知z=1-2i,且z+a+b=0,其中a,b为实数,则(　A　) A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2 C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2 解析:由题意知=1+2i,所以z+a+b=1-2i+a(1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i,又z+a+b=0,所以a+b+1+(2a-2)i=0, 所以 解得 3.(2022·全国乙卷)设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则(　A　) A.a=1,b=-1 B.a=1,b=1 C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1 解析:法一　由题意知a+b+2ai=2i, 所以 解得 法二　由题意知a+b+(2a-2)i=0, 所以 解得 4.(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1-z)=1,则z+等于(　D　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析:因为i(1-z)=1, 所以z=1-=1+i, 所以=1-i, 所以z+=1+i+1-i=2. 5.若复数z=,则|z|=　　　　.  解析:因为z===-i(i+1)=1-i,因此,|z|==. 答案: 复数的有关概念 1.(2022·浙江卷)已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位),则(　B　) A.a=1,b=-3 B.a=-1,b=3 C.a=-1,b=-3 D.a=1,b=3 解析:(b+i)i=-1+bi,则由a+3i=-1+bi, 得a=-1,b=3. 2.如果复数(b∈R)的实部与虚部相等,那么b等于(　A　) A