主题三 第六章 第5节 解三角形的综合应用-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，湘教版）

第5节　解三角形的综合应用 [课程标准要求] 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 测量中的几个有关术语 术语 名称 术语意义 图形表示 仰角与 俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫作仰角,目标视线在水平视线下方的叫作俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫作方位角.方位角θ的范围是0°≤θ<360°　 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)α 例:(1)北偏东α: (2)南偏西α: 坡角与 坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角);坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度),即i==tan θ 1.为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩A,B(如图),要测量A,B两点间的距离,测量人员在岸边定出基线BC,测得BC=50 m,∠ABC=105°,∠BCA=45°.则可以计算出A,B两点的距离为(　D　) A.20 m B.30 m C.40 m D.50 m 解析:由题意,∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=30°,由正弦定理得=⇒=⇒AB=50. 2.如图,在200 m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°,则塔高为(　A　) A. m B. m C. m D. m 解析:如图,设山顶为A,塔底为C,塔顶为D,过点A作CD的垂线,交CD的延长线于点B,则易得AB=,BD=ABtan 30°=·tan 30°= ×=(m),所以CD=BC-BD=200-=(m). 3.在一幢与塔AB相距30 m的楼的楼顶C处测得塔顶A的仰角为30°,测得塔基B的俯角为45°,则塔AB的高度为　　　　 m.  解析:如图所示,依题意∠ACE=30°,∠ECB=45°,DB=30,所以CE=30, BE=30,在△ACE中, 由=, 得AE=10, 所以AB=(30+10) m. 答案:30+10 4.海上有A,B,C三个小岛,A,B相距5 km,从A岛望C和B成45°视角,从B岛望C和A成75°视角,则B,C两岛间的距离是　　　 km. 解析:由题意可知∠ACB=60°, 由正弦定理得=, 即=,得BC=5(km). 答案:5 测量距离问题 [例1] 如图,游客从某山风景区的景点A处下山至C处有两种路径,一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A乘景区观光车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min,在甲出发2 min 后,乙从A乘观光车到B,在B处停留20 min 后,再从B匀速步行到C.假设观光车匀速直线运行的速度为250 m/min,山路AC长为2 340 m,经测量cos A=,cos C=. (1)求观光车路线AB的长; (2)乙出发多少分钟后,在观光车上与甲的距离最短? 解:(1)在△ABC中,因为cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=,从而sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,由正弦定理=,得AB=×sin C=×=2 000(m),所以观光车路线AB的长为2 000 m. (2)假设乙出发t min后,甲、乙两游客距离为d m,则t∈[0,8],此时甲行走了(100+50t) m,乙距离A处250t m,由余弦定理得,d2=(100+ 50t)2+(250t)2-2×250t×(100+50t)×=1 000(41t2-38t+10)=1 000 [41(t-)2+],因为t∈[0,8],所以当t=时,d取得最小值,即乙出发 min后,在观光车上与甲的距离最短. 距离问题的解法 选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正弦、余弦定理求解. [针对训练] 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”.若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A,B两点间的距离),现取两点C,D,测得CD=80,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则图中海洋蓝洞的口径为　　　　.  解析:由已知得,在△ADC中,∠DCA=15°,∠ADC=150°,所以∠DAC=15°, 由正弦定理得 AC===40(+). 在△BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=135°, 所以∠DBC=30°, 由正弦定理得=, 得BC===160sin 15°=40(-). 在△ABC中,由余弦定理,得AB2=1 600×(8+4)+1 600×(8-4)+2×1 600×(+)×(-)×=1 600×16+1 60