主题三 第六章 第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，湘教版）

第3节　平面向量的数量积及平面向量的应用 [课程标准要求] 1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积. 2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 4.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角. 5.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件. 1.数量积的定义 (1)设a,b是任意两个向量,<a,b>是它们的夹角,则定义a·b=|a||b|cos<a,b>为a与b的数量积. (2)a·b=0⇔a⊥b. 2.投影 (1)投影向量:如图,作向量=a,=b,两个向量的夹角为α,过点B作BB1⊥OA于点B1,则=+,其中与共线. 把称为在方向上的投影向量,投影向量的长度||=|||cos α|称为投影长. (2)b在a方向上的投影|b|cos α=. 3.数量积的运算律 设a,b,c是任意向量,λ是任意实数,则如下运算律成立: (1)交换律:a·b=b·a. (2)与数乘的结合律:a·(λb)=λ(a·b). (3)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c. 4.数量积的坐标表示 两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积的坐标表达式为a·b=(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2. 5.计算公式 (1)向量的长度 向量a=(x,y)的模(即长度)的公式为|a|==. (2)夹角余弦值 两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的夹角余弦值为cos <a,b>==. (3)垂直条件 已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0. 1.两个向量a,b的夹角为锐角⇔a·b>0且a,b不共线; 两个向量a,b的夹角为钝角⇔a·b<0且a,b不共线. 2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a+b)·(a-b)=a2-b2. (2)(a+b)2=a2+2a·b+b2. (3)(a-b)2=a2-2a·b+b2. 3.设O为△ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则 (1)O为△ABC的重心⇔++=0. (2)O为△ABC的内心⇔a+b+c=0. (3)O为△ABC的垂心⇔·=·=·. 1.(多选题)设a,b,c是任意的非零向量,则下列结论正确的是(　CD　) A.0·a=0 B.a·b=b·c,则a=c C.a·b=0⇒a⊥b D.(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2 2.已知|a|=5,|b|=,a·b=5,则a与b的夹角θ等于(　A　) A.45° B.135° C.-45° D.30° 解析:由题意知cos θ===,又θ∈[0°,180°],所以θ=45°. 3.已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,则向量b在向量a上的投影长为　　　.  解析:由数量积的定义知,b在a上的投影长为|b||cos θ|=4×|cos 120°|=2. 答案:2 4.(2021·北京卷)已知a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1),则(a+b)·c=　　　　,a·b=　.  答案:0　3 平面向量数量积的运算 1.(2019·全国Ⅱ卷)已知=(2,3),=(3,t),||=1,则·等于(　C　) A.-3 B.-2 C.2 D.3 解析:由=-=(1,t-3),||==1,得t=3,则=(1,0),·=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2. 2.(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,则a·b+b·c+c·a=　　　　.  解析:由已知可得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=9+2(a·b+b·c+c·a)=0,因此,a·b+b·c+c·a=-. 答案:- 3.已知向量a,b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,则向量a-b在向量a+b上的投影长是　.  解析:依题意得(a-b)·(a+b)=a2-b2=-3,(a+b)2=a2+b2+2a·b=3,即|a+b|=,向量a-b在向量a+b上的投影长是==. 答案: 4.在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2,AD=5,A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则·=　　　　.  解析: 如图,在等腰三角形ABE中,易得∠BAE=∠ABE=30°,故BE=2. 则·=(-)·(+) =·+·--· =5×2×cos 30°+5×2×cos 180°-12-2×2×cos 150° =15-10-12+6=-1. 答案:-1 平面向量数量积的三种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cos<a,b>. (2)当已知向量的坐标