主题三 第六章 第2节 平面向量基本定理及坐标表示-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，湘教版）

第2节　平面向量基本定理及坐标表示 [课程标准要求] 1.理解平面向量基本定理及其意义. 2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算. 1.平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理:设e1,e2是平面上两个不共线向量,则 ①平面上每个向量v都可以分解为e1,e2的实数倍之和,即v=xe1+ye2,其中x,y是实数. ②实数x,y由v=xe1+ye2唯一决定.也就是: 如果v=xe1+ye2=x′e1+y′e2,则x=x′,y=y′. (2)称不共线向量e1,e2组成平面上的一组基{e1,e2},分解式v=xe1+ye2中的系数x,y组成的有序数组(x,y),称为v在这组基下的坐标.记为v=(x,y). 2.平面向量的正交分解与坐标表示 (1)正交分解:把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫作把向量正交分解. (2)坐标表示:平面上相互垂直的单位向量组成的基称为标准正交基,记作{i,j},显然i=(1,0),j=(0,1). 建立平面直角坐标系,若平面向量v的坐标是(x,y),我们视其为v在x轴、y轴正方向上的单位向量e1,e2组成的基下的坐标,即v=xe1+ye2=.其中点P的坐标为(x,y). (3)结论:设单位向量e1,e2的夹角<e1,e2>=90°,非零向量v的模|v|=r且<e1,v>=α,则v=(r cos α,r sin α). 3.向量线性运算的坐标表示 (1)向量加法、减法运算的坐标表示:两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的和(或差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(或差),即a±b=(x1,y1)±(x2,y2)=(x1±x2,y1±y2). (2)向量数乘的坐标表示:一个实数λ与向量a=(x,y)的积的坐标等于这个数乘以向量相应的坐标,即λa=λ(x,y)=(λx,λy). (3)在平面直角坐标系中,向量的坐标等于终点Q的坐标(x2,y2)减去起点P的坐标(x1,y1),即=(x2-x1,y2-y1).线段PQ的中点坐标为(,). (4)向量=(x1,y1),=(x2,y2)平行(也就是共线),可以直接用(x1,y1)∥(x2,y2)来表示.(x1,y1)∥(x2,y2)⇔x1y2-y1x2=0. 1.若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0. 2.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则P点坐标为(,). 3.已知△ABC的重心为G,若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则G(,). 1.已知a=(3,6),b=(x,y),若a+3b=0,则b等于(　B　) A.(1,2) B.(-1,-2) C.(-1,2) D.(1,-2) 2.已知平面向量a=(2,-1),b=(1,3),那么|a+b|等于(　B　) A.5 B. C. D.13 解析:因为a+b=(2,-1)+(1,3)=(3,2), 所以|a+b|==. 3.给出下列三个向量:a=(,),b=(1,-3),c=(-2,6).从中任意取两个作为一组,能构成基的组数为　　　　.  答案:2 4.已知向量a=(x,1),b=(2,x-1),若(2a-b)∥a,则x=　　　　.  解析:2a-b=(2x-2,3-x), 因为(2a-b)∥a, 所以2x-2=x(3-x), 即x2-x-2=0,解得x=2或x=-1. 答案:2或-1 5.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,P为CO的中点.若+=λ,则λ=　　　　.  解析:因为四边形ABCD为平行四边形, 所以+==2, 又=,所以+=, 又+=λ,故λ=. 答案: 平面向量基本定理的应用 [例1] (1)如果e1,e2是平面α内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基的是(　　) A.e1与e1+e2 B.e1-2e2与e1+2e2 C.e1+e2与e1-e2 D.e1+3e2与6e2+2e1 (2)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AB,BC的中点,连接CE,DF,交于点G.若=λ+μ(λ,μ∈R),则=　　　　.  解析:(1)D中,e1+3e2=(6e2+2e1),所以两向量是共线向量,不能作为基;A,B,C中都能作为基.故选D. (2)由题图可设=x(0<x<1),则=x(+)=x(+)=+x. 因为=λ+μ,与不共线, 所以λ=,μ=x, 所以=. 答案:(1)D　(2) 平面向量基本定理的实质及应用思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减运算或数乘运算. (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基,并运用该基将条件和结论表示成向量的形式