主题三 第六章 第1节 平面向量的概念及线性运算-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，湘教版）

第六章　平面向量、复数 第1节　平面向量的概念及线性运算 [课程标准要求] 1.向量概念 (1)通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义; (2)理解平面向量的几何表示和基本要素. 2.向量运算 (1)借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义; (2)通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义,理解两个平面向量共线的含义; (3)了解平面向量的线性运算性质及其几何意义. 1.向量的有关概念 (1)向量:既有大小又有方向的量称为向量,向量的大小称为向量的长度(或模). (2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的. (3)单位向量:长度为1的向量. (4)相等向量:长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量:长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量 运算 定义 法则 (或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 ①交换律: a+b=b+a; ②结合律: (a+b)+c=a+(b+c); ③规定:a+0=0+a=a 续　表 向量 运算 定义 法则 (或几何意义) 运算律 减法 求两个向量差的运算 三角形法则 a-b=a+(-b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 ①|λa|=|λ||a|; ②当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0 λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb 3.共线向量 (1)当非零向量a,b方向相同或相反时,既称a,b共线,也称a,b平行,并且用符号“∥”来表示它们共线(或平行),记作a∥b. (2)规定零向量与所有的向量平行. (3)两个向量平行⇔其中一个向量是另一个向量的实数倍. 即a∥b⇔存在实数λ,使得b=λa或a=λ b. (4)向量的夹角 如图,设a,b是两个非零向量,任选一点O,作=a,=b,则射线OA,OB所夹的最小非负角∠AOB=θ称为向量a,b的夹角,记作<a,b>,取值范围规定为[0,π],<a,b>=<b,a>. ①当θ=0时,a,b方向相同;当θ=π时,a,b方向相反,a,b方向相同或相反时,a,b共线. ②当0<θ<π时,a,b不共线,特别地,当θ=时,a与b垂直,记作a⊥b. ③规定零向量与任一向量垂直. 1.若P为线段AB的中点,O为平面内任一点,则=(+). 2.=λ+μ(λ,μ为实数),若点A,B,C共线,则λ+μ=1. 3.若A,B,C是平面内不共线的三点,则++=0⇔P为△ABC的重心. 1.下列各式化简结果正确的是(　B　) A.+= B.+++= C.+-=0 D.--= 2.(多选题)(2022·山东威海月考)下列说法正确的是(　ABC　) A.非零向量a与b同向是a=b的必要不充分条件 B.若与共线,则A,B,C三点在同一条直线上 C.a与b是非零向量,若a与b同向,则a与-b反向 D.设λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线 解析:根据向量的有关概念可知A,B,C正确,对于D,当λ=μ=0时,a与b不一定共线,故D错误. 3.平行四边形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点(靠近点B),则 等于(　D　) A.- B.+ C.+ D.- 解析:因为点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点(靠近点B),所以=+=+=-. 4.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=　　　　.  解析:因为向量a,b不平行,所以a+2b≠0,又向量λa+b与a+2b平行,则存在唯一的实数μ,使λa+b=μ(a+2b)成立,即λa+b=μa+2μb,则解得λ=μ=. 答案: 5.如图,O在△ABC的内部,D为AB的中点,且++2=0,则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为　　　　.  解析:因为D为AB的中点,则=(+),又++2=0,所以=-,所以O为CD的中点.又因为D为AB的中点,所以S△AOC=S△ADC=S△ABC,则=4. 答案:4 平面向量的基本概念 1.给出下列命题: ①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量; ②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小; ③λa=0(λ为实数),则λ必为零; ④所有的单位向量都相等. 其中错误命题的个数为(　C　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:①错误,两向量共线要看其方向而不是起点与终点. ②正确,因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小. ③错误,当a=0时,不论λ为何值,λa=0. ④错误,两个单位向量方向不一定相同. 2.设a是非零向量,λ