主题二 第三章 培优课(二) 隐零点与极值点偏移问题-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，湘教版）

培优课(二)　隐零点与极值点偏移问题

 [知识解读]

1.隐零点

利用导数解决函数问题常与函数单调性的判断有关,而函数的单调性与其导函数的零点有着紧密的联系,按导函数零点能否求精确解可以分为两类:一类是数值上能精确求解的,称之为“显零点”;另一类是能够判断其存在但无法直接表示的,称之为“隐零点”.对于隐零点问题,由于涉及灵活的代数变形、整体代换、构造函数、不等式应用等技巧,对学生综合能力的要求较高,成为考查的难点.

2.极值点“偏移”图示

(1)极值点不偏移

已知函数f(x)图象的顶点的横坐标就是极值点x0,若f(x)=c的两根的中点刚好满足=x0,即极值点在两根的正中间,也就是说极值点没有偏移.此时函数f(x)在x=x0两侧,函数值变化快慢相同,如图①.

(无偏移,左右对称,二次函数)若f(x1)=f(x2),则x1+x2=2x0.

(2)极值点偏移

若≠x0,则极值点偏移,此时函数f(x)在x=x0两侧,函数值变化快慢不同,如图②③.

(左陡右缓,极值点向左偏移)若f(x1)=f(x2),则x1+x2>2x0;

(左缓右陡,极值点向右偏移)若f(x1)=f(x2),则x1+x2<2x0.

(3)极值点偏移问题的一般题设形式

①若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1≠x2,求证:x1+x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点);

②若函数f(x)存在x1,x2且x1≠x2满足f(x1)=f(x2),求证:x1+x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点);

③若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1≠x2,令x0=,求证:f′(x0)>0;

④若函数f(x)存在x1,x2且x1≠x2满足f(x1)=f(x2),令x0=,求证:f′(x0)>0.

(4)极值点偏移问题的常见解法

①(对称化构造法)构造辅助函数:对结论x1+x2>(<)2x0型,构造函数F(x)=f(x)-f(2x0-x);对结论x1x2>(<)型,构造函数F(x)=f(x)-f(),通过研究F(x)的单调性获得不等式.

②(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t=化为单变量的函数不等式,利用函数单调性证明.

　隐零点问题

函数最值中的“隐零点”

[典例1] 已知函数f(x)=(x-a)ex(a∈R).

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)当a=2时,设函数g(x)=f(x)+ln x-x-b,b∈Z,若g(x)≤0对任意的x∈(,1)恒成立,求b的最小值.

解:(1)由题意,函数f(x)=(x-a)ex(a∈R),

可得f′(x)=(x-a+1)ex,

当x∈(-∞,a-1)时,f′(x)<0;

当x∈(a-1,+∞)时,f′(x)>0,

故函数f(x)在(-∞,a-1)上单调递减,

在(a-1,+∞)上单调递增.

(2)g(x)=f(x)+ln x-x-b=(x-2)ex+ln x-x-b(b∈Z),

因为g(x)≤0对任意的x∈(,1)恒成立.

即b≥(x-2)ex+ln x-x对任意的x∈(,1)恒成立,

令函数h(x)=(x-2)ex+ln x-x,

则h′(x)=(x-1)ex+-1=(x-1)(ex-),

因为x∈(,1),所以x-1<0.

再令函数t(x)=ex-,