主题二 第三章 第3节 导数与函数的极值、最值-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，湘教版）

第3节　导数与函数的极值、最值 [课程标准要求] 1.借助函数图象,了解函数在某点取得极值的必要和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值. 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值. 1.函数极值的概念 (1)函数的极大值和极大值点. 设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义,x0是区间(a,b)内的一个点,若点x0附近的函数值都小于或等于f(x0)(即f(x)≤f(x0)),就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值,此时x0称为f(x)的一个极大值点. (2)函数的极小值和极小值点. 设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义,x0是区间(a,b)内的一个点,若点x0附近的函数值都大于或等于f(x0)(即f(x)≥f(x0)),就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值,此时x0称为f(x)的一个极小值点. (3)函数的极值和极值点. 极大值和极小值统称为极值,极大值点和极小值点统称为极值点. 2.函数的导数与极值的关系 如果函数曲线在极值点处有切线,则该切线和x轴平行(或重合).换句话说,函数在极值点的导数为0.反过来,导数的零点可能不是函数的极值点. 3.求可导函数极值的步骤 (1)求导数f′(x). (2)求f(x)的驻点,即求方程f′(x)=0的解. (3)对于方程f′(x)=0的每一个解x0,分析f′(x)在x0左右两侧的符号(即讨论f(x)的单调性),确定极值点: ①若f′(x)在x0两侧的符号为“左正右负”,则x0为极大值点;②若f′(x)在x0两侧的符号为“左负右正”,则x0为极小值点. (4)求出各极值点的函数值,就得到函数y=f(x)的全部极值. 4.闭区间上函数的最值 (1)最值. 一般地,如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么该函数在[a,b]上必有最大值和最小值. (2)求函数最值的步骤. ①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值; ②求函数y=f(x)在端点处的函数值f(a),f(b); ③将函数y=f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大者是最大值,最小者是最小值. 1.(多选题)已知函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,则下列判断正确的是(　AC　) A.f(x)在x=-4时取极小值 B.f(x)在x=-2时取极大值 C.1.5是f(x)的极小值点 D.3是f(x)的极小值点 解析:由导函数f′(x)的图象可得,当x=-4时,其左边的导数小于零,右边的导数大于零,所以f(x)在x=-4时取极小值,所以A正确;当x=1.5时,其左边的导数小于零,右边的导数大于零,所以1.5是f(x)的极小值点,所以C正确;而x=-2和x=3,左右两边的导数值同号,所以-2和3不是函数的极值点,所以B,D错误. 2.函数f(x)=x3-ax2+2x-1有极值,则实数a的取值范围是(　B　) A.(-∞,-]∪[,+∞) B.(-∞,-)∪(,+∞) C.(-,) D.[-,] 解析:f′(x)=3x2-2ax+2, 由题意知f′(x)有变号零点, 所以Δ=(-2a)2-4×3×2>0, 解得a>或a<-. 3.(多选题)(2022·山东青岛月考)已知f(x)=,则f(x)(　BC　) A.在(-∞,+∞)上单调递减 B.在(-∞,1)上单调递增 C.有极大值,无极小值 D.有极小值,无极大值 解析:由题意知f′(x)=,当x<1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x>1时,f′(x)<0,f(x)单调递减,所以f(1)是函数的极大值,也是最大值,f(1)=,函数无极小值. 4.(2023·湖南长沙模拟)函数f(x)=ln(x+1)-的最大值为　　　　.  解析:因为f(x)=ln(x+1)-, 所以f′(x)=-=,x≥0, 所以f′(x)=≤0, 所以f(x)单调递减,f(x)的最大值为f(0)=0. 答案:0 5.已知函数f(x)=x3+x2-2x+1,若函数f(x)在(2a-2,2a+3)上存在最小值,则实数a的取值范围是　　　　.  解析:f(x)=x3+x2-2x+1, f′(x)=x2+x-2=(x+2)(x-1), 当-2<x<1时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当x<-2或x>1时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 所以f(x)在x=1处取得极小值,在x=-2处取得极大值. 令f(x)=f(1), 解得x=1或x=-, 又因为函数f(x)在(2a-2,2a+3)上存在最小值,且(2a-2,2a+3)为开区间, 所以-≤2a-2<1<2a+3, 解得-≤a<, 即a的取值范围是[-,). 答案:[-,) 利用导数研究函数的极值 根据函数图象判断函数极值 [例1] (多选题)(2022·山东潍坊二模)定义在区间[-