主题二 第三章 第1节 导数的概念及其意义、导数的运算-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，湘教版）

第三章　一元函数的导数及其应用 第1节　导数的概念及其意义、导数的运算 [课程标准要求] 1.了解导数概念的实际背景,理解导数的几何意义. 2.能根据导数定义求函数y=c(c为常数),y=x,y=x2,y=x3,y=,y= 的导数. 3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数,会使用导数公式表. 1.导数定义 (1)函数在一点处的导数 设函数y=f(x)在包含x0的某个区间上有定义,在d趋近于0时,如果比值趋近于一个确定的极限值,则称此极限值为函数y=f(x)在x=x0处的导数或微商,记作f′(x0). 上述定义可以简单地表述为 →f′(x0)(d→0), 读作“d趋近于0时,趋近于f′(x0)”. (2)函数在区间上的导数 若y=f(x)在定义区间中任一点的导数都存在,则f′(x)(或y′)也是x的函数,我们把f′(x)(或y′)叫作y=f(x)的导函数或一阶导数. 既然导函数f′(x)也是函数,若f′(x)在定义区间中任一点处都可导,则它的导数叫作f(x)的二阶导数,记作f″(x).类似地,可以定义三阶导数f‴(x)等等. (3)导数的几何意义 当函数y=f(x)表示曲线方程时,其导数f′(x)的几何意义就是该曲线在点(x,f(x))处的切线的斜率. (1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,斜率为f′(x0)的切线,具有唯一性. (2)曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,点P不一定是切点,切线可能有多条. 2.常见幂函数的导数 (1)常数函数导数为0:(c)′=0; (2)恒等函数导数为1:(x)′=1; (3)(x2)′=2x; (4)(x3)′=3x2; (5)()′=-; (6)()′=. 3.一些基本初等函数的导数 (1)(c)′=0; (2)(xα)′=αxα-1(α≠0); (3)(ex)′=ex; (4)(ax)′=axln a(a>0,a≠1); (5)(ln x)′=; (6)(logax)′=(a>0,a≠1); (7)(sin x)′=cos x; (8)(cos x)′=-sin x; (9)(tan x)′=. 函数的解析式中含有根式的,在求导时要先将根式化为分数指数幂后求导数. 4.导数的运算法则 (1)(cf(x))′=cf′(x). (2)(f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x). (3)(f(x)-g(x))′=f′(x)-g′(x). (4)(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x). (5)()′=-. (6)()′=. 5.复合函数的导数 一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y′x=y′u·u′x.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 　奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数. 1.下列结论正确的是(　B　) A.若y=cos ,则y′=-sin B.若y=sin x2,则y′=2xcos x2 C.若y=cos 5x,则y′=-sin 5x D.若y=xsin 2x,则y′=xsin 2x 解析:对于A,y=cos ,则y′=sin ,故错误;对于B,y=sin x2,则y′=2xcos x2,故正确;对于C,y=cos 5x,则y′=-5sin 5x,故错误;对于D,y=xsin 2x,则y′=sin 2x+xcos 2x,故错误. 2.设函数f(x)在x=1处可导,则当d→0时,趋近于(　B　) A.f′(1) B.-f′(1) C.-2f′(1) D.-f′(1) 3.若函数f(x)=ln(2x-1),则f′(2)=　　　　.  解析:f′(x)=,因此f′(2)==. 答案: 4.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=.若f′(1)=,则a=　　　　　　.  解析:由于f′(x)=, 故f′(1)==,解得a=1. 答案:1 5.(2021·全国甲卷)曲线y=在点(-1,-3)处的切线方程为　　　　.  解析:y′=()′==,所以切线斜率k==5,所以切线方程为y+3=5(x+1),即y=5x+2. 答案:y=5x+2 导数的运算 1.已知函数f(x)=f′(1)x2+2x+2f(1),则f′(2)的值为(　D　) A.-2 B.0 C.-4 D.-6 解析:法一　由题意f(1)=f′(1)+2+2f(1),化简得f(1)=-f′(1)-2, 而f′(x)=2f′(1)x+2,所以f′(1)=2f′(1)+2,得f′(1)=-2,故f(1)=0, 所以f(x)=-2x2+2x,所以f