主题二 第二章 第8节 函数与方程-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，湘教版）

第8节　函数与方程 [课程标准要求] 1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系. 2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理,并能简单应用. 3.了解用二分法求方程的近似解的步骤. 1.函数的零点 (1)函数零点的定义:使f(x)=0的实数x叫作函数y=f(x)的零点. (2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. (3)设函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,当x从a到b逐渐增加时,如果f(x)连续变化而且f(a)f(b)<0,则存在点x0∈(a,b),使f(x0)=0.如果y=f(x)在区间[a,b]内单调递增或单调递减,方程f(x)=0在(a,b)内恰有一个根. 函数的零点不是一个点,而是一个实数.该实数是函数图象与x轴交点的横坐标. 2.二分法 (1)二分法 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. (2)二分法求函数零点近似值的步骤 设函数y=f(x)定义在区间D上,其图象是一条连续曲线.求它在D上的一个零点x0的近似值x,使它与零点的误差不超过给定的正数ε,即使得 |x-x0|≤ε. ①在D内取一个闭区间[a,b]⊆D,使f(a)与 f(b) 异号,即f(a)·f(b)<0; ②取区间[a,b]的中点m=(a+b); ③如果|m-a|<ε,则取m为f(x)的零点近似值,计算终止; ④计算f(m),如果f(m)=0,则m就是f(x)的零点,计算终止; ⑤f(m)与f(a)同号则令a=m,否则令b=m,再执行(2). 用二分法求方程的近似解应具备两个条件,一是方程对应的函数在零点附近连续不断,二是该零点左、右的函数值异号. 3.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+ bx+c (a>0)的 图象 与x轴的 交点 (x1,0), (x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 2 1 0 由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件. 1.函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,部分对应关系如表所示,则该函数的零点个数至少为(　B　) x 1 2 3 4 5 6 y 126.1 15.15 -3.92 16.78 -45.6 -232.64 A.2 B.3 C.4 D.5 解析:由表可知,f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0,所以函数f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点. 2.(2022·湖北武汉期末)函数f(x)=3x+x-2的零点所在的一个区间是(　A　) A.(0,1) B.(1,2) C.(-2,-1) D.(-1,0) 解析:f(0)=-1,f(1)=2,故f(0)f(1)<0,由零点存在定理可知f(x)的零点所在的一个区间是(0,1). 3.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为(　D　) A.2 B.-2,0 C. D.0 解析:当x≤1时,令f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时,令f(x)=1+log2x=0,解得x=(舍去).综上,函数的零点为0. 4.(2022·北京大兴区三模)已知a>0,若函数f(x)=有两个不同的零点,则a的取值范围是(　A　) A.(0,) B.(0,1) C.(,+∞) D.[1,+∞) 解析:x+a=0,x=-a<a, 则x=-a是函数f(x)的一个零点, 由ln x+2=0,解得x=, 要使得f(x)有两个不同的零点,则a∈(0,). 5.函数f(x)=x·2x-kx-2在区间(1,2)内有零点,则实数k的取值范围是　　　　.  解析:令f(x)=0, 所以x·2x-kx-2=0, 即k=2x-, 即y=k与(x)=2x-,x∈(1,2)的图象有交点, 又(x)=2x-在(1,2)上单调递增, 且(1)=0,(2)=3, 所以0<k<3. 答案:(0,3) 函数零点存在定理的应用 1.(2022·天津一模)函数f(x)=ex+2x-6的零点所在的区间是(　C　) A.(3,4) B.(2,3) C.(1,2) D.(0,1) 解析:易知f(x)=ex+2x-6是R上的增函数,且f(1)=e-4<0,f(2)=e2-2>0, 所以f(1)f(2)<0, 所以f(x)的零点所在的区间是(1,2). 2.已知函数f