主题二 第二章 第6节 对数与对数函数-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，湘教版）

第6节　对数与对数函数 [课程标准要求] 1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点. 3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1). 1.对数 概念 一般地,如果ab=N(a>0,且a≠1),那么数b叫作以a为底(正)数N的对数,记作b=logaN,其中a叫作对数的底数,N叫作对数的真数 对数 恒等 式 =N(N>0,a>0且a≠1), b=logaab(b∈R,a>0且a≠1) 对数 性质 logaa=logaa1=1, loga1=logaa0=0 两个 特殊 对数 常用对数:以10为底,记作lg N, 自然对数:以e(e=2.718 28…)为底,记作ln N 运算 法则 loga(M·N)=logaM+logaN a>0, 且a≠1, M>0,N>0 loga=logaM-logaN logaMn=nlogaM(n∈R) 换底 公式 logbN=(a>0且a≠1,b>0且b≠1,N>0) 2.对数函数的图象与性质 我们可以借助指数函数图象和性质得到对数函数图象和性质: 定义 y=logax(a>0,且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 底数 a>1 0<a<1 定义域 (0,+∞) 值域 R 单调性 在(0,+∞) 上单调递增 在(0,+∞) 上单调递减 共点性 图象过点(1,0),即loga1=0 函数值 特点 x∈(0,1)时, y∈(-∞,0); x∈[1,+∞)时, y∈[0,+∞) x∈(0,1)时, y∈(0,+∞); x∈[1,+∞)时, y∈(-∞,0] 对称性 函数y=logax与y=lox的图象关于x轴对称 3.指数函数与对数函数的关系 一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换,图象关于直线y=x对称. 1.换底公式及其推论 (1)logab·logba=1,即logab=(a,b均大于0且不等于1); (2)lobn=logab; (3)logab·logbc·logcd=logad. 2.对数函数的图象与底数大小的比较 如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数, 故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 1.(多选题)下列各式正确的是(　BD　) A.=loga2 B.lg 2+lg 5=1 C.(ln x)2=2ln x D.lg=lg x 解析:A选项,由换底公式,可得=log36=1+log32,故A错误;B选项,lg 2+lg 5=lg (2×5)=1,故B正确;C选项,(ln x)2=ln x×ln x≠2ln x,故C错误;D选项,lg=lg =lg x,故D正确. 2.(2021·新高考Ⅱ卷)已知a=log52,b=log83,c=,则下列判断正确的是(　C　) A.c<b<a B.b<a<c C.a<c<b D.a<b<c 解析:a=log52<log5==log82<log83=b,即a<c<b. 3.函数f(x)=的定义域是(　D　) A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.[1,+∞) D.[2,+∞) 解析:要使函数f(x)=有意义,只需即解得x≥2,所以函数f(x)的定义域为[2,+∞). 4.已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是　　　　(填序号).  ①a>1,c>1;②a>1,0<c<1;③0<a<1,c>1;④0<a<1,0<c<1. 解析:由题图可知,函数在定义域内为减函数,所以0<a<1.又当x=0时,y>0,即logac>0,所以0<c<1. 答案:④ 5.化简2lg 5+lg 4-的结果为　　　　.  解析:因为2lg 5+lg 4=2lg 5+2lg 2=2(lg 5+lg 2)=2. 又=2, 所以2lg 5+lg 4-=2-2=0. 答案:0 对数式的化简与求值 1.(2020·全国Ⅰ卷)设alog34=2,则4-a等于(　B　) A. B. C. D. 解析:法一　因为alog34=2,所以log34a=2,则有4a=32=9,所以4-a==. 法二　因为alog34=2,所以-alog34=-2,所以log34-a=-2,所以4-a=3-2==. 法三　因为alog34=2,所以==log43, 所以=3,两边同时平方得4