主题二 第二章 第5节 指数与指数函数-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，湘教版）

第5节　指数与指数函数 [课程标准要求] 1.了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质. 2.了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念. 3.会画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 1.根式 若一个(实)数x的n次方(n∈N,n≥2)等于a,即xn=a,就说x是a的n次方根 当n是奇数时,a的n次方根记作 当n是偶数时,正数a的n次方根有两个:±;负数没有偶次方根 0的任何次方根都是0,记作 =0 式子 叫作根式,这里n叫作根指数,a叫作被开方数 当n为任意正整数时,()n=a 当n为奇数时,=a 当n为偶数时,=|a|= 2.有理数指数幂 概念 正分数指数幂:= a>0,m,n∈N, n≥2 负分数指数幂:== 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 运算 性质 ar·as=ar+s a>0, b>0, r,s∈Q (ar)s=ars (ab)r=arbr 有理数指数幂的运算性质中,要求底数都大于0,否则不能用性质来运算. 3.指数函数的概念、图象与性质 定义 y=ax(a>0,且a≠1) 0<a<1 a>1 图象特征 在x轴上方,过定点(0,1) 当x逐渐增大时,图象逐渐下降 当x逐渐增大时,图象逐渐上升 性 质 定义域 R 值域 (0,+∞) 单调性 单调递减 单调递增 函数变 化规律 当x=0时,y=1 当x<0时,y>1;当x>0时,0<y<1 当x<0时,0<y<1;当x>0时,y>1 形如y=kax,y=ax+k(k∈R,且k≠0,k≠1;a>0且a≠1)的函数叫作指数型函数,不是指数函数. 1.指数函数图象的对称规律 函数y=ax的图象与y=a-x的图象关于y轴对称,y=ax的图象与y=-ax的图象关于x轴对称,y=ax的图象与y=-a-x的图象关于坐标原点对称. 2.底数对函数y=ax(a>0,且a≠1)的函数值的影响如图所示(a1>a2>a3>a4),不论是a>1,还是0<a<1,在第一象限内底数越大,函数图象越高. 1.(多选题)设a∈R,n,m∈N+,且n≥2,则下列等式一定正确的是(　AD　) A.am·an=am+n B.(an)m=am+n C.=a D.()n=a 解析:由指数幂的运算公式可得am·an=am+n,(an)m=amn,()n=a,所以A,D正确,B错误;对于C,当n为奇数时,=a,当n为偶数时,=|a|,所以C错误. 2.函数f(x)=1-e|x|的图象大致是(　A　) 解析:易知f(x)为偶函数,且f(x)=1-e|x|≤0,A正确. 3.函数f(x)=2ax+1-1(a>0,且a≠1)恒过定点(　B　) A.(-1,-1) B.(-1,1) C.(0,2a-1) D.(0,1) 解析:令x+1=0,解得x=-1,且f(-1)=1,故函数f(x)=2ax+1-1(a>0,且a≠1)恒过定点(-1,1). 4.(2022·重庆月考)计算:()×(-)0+×-=　　　　.  解析:原式=()×1+×-()=2. 答案:2 指数幂的运算 1.当a>0时,等于(　C　) A.x B.x C.-x D.-x 解析:由成立可知-ax3≥0,结合a>0得x3≤0,即x≤0,因此==·=·|x|=-x. 2.化简÷()的值为　　　　.  解析:原式=÷() =÷( =÷( =÷(ab) = =. 答案: 3.计算:(-)+0.00-10(-2)-1+π0=　　　　.  解析:原式=(-)-2+50-+1=+10-10-20+1=-. 答案:- (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意: ①必须同底数幂相乘,指数才能相加. ②运算的先后顺序. (2)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 指数函数的图象及应用 [例1] 已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1). (1)若f(x)的图象如图①所示,求实数a,b的取值范围; (2)若f(x)的图象如图②所示,|f(x)|=m有且仅有一个实数解,求m的取值范围. 解:(1)由f(x)=ax+b为减函数可得0<a<1,又f(0)=1+b<0,解得b<-1,所以实数a的取值范围为(0,1),实数b的取值范围为(-∞,-1). (2)题图②中f(0)=1+b=-2,所以b=-3,函数y=|f(x)|的图象如图所示. 由图象可知若|f(x)|=m有且仅有一个实数解,则m=0或m≥3,所以m的取值范围为{0}∪[3,+∞).